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完美數(shù)與斐波那契序列

作者：蔡天新
出版社：科學(xué)出版社出版時間：2021-10-01
開本： 16開 頁數(shù)： 204
中 圖 價:¥64.2(7.3折) 定價  ¥88.0 登錄后可看到會員價
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完美數(shù)與斐波那契序列 版權(quán)信息

完美數(shù)與斐波那契序列 內(nèi)容簡介

完美數(shù)和斐波那契序列是兩個有名的數(shù)論問題和研究對象，兩者都有著很好悠久的歷史！锻昝罃(shù)與斐波那契序列》介紹了它們的發(fā)展史和現(xiàn)當(dāng)代研究進展，包括作者、他的團隊和同代人的研究成果。特別地，作者提出了平方完美數(shù)問題，并搶先發(fā)售揭示了古老的完美數(shù)問題與13世紀(jì)的斐波那契序列中的素數(shù)對之間的聯(lián)系，這與18世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉將完美數(shù)問題與17世紀(jì)的梅森素數(shù)相聯(lián)系一樣有著重要的意義。與此同時，《完美數(shù)與斐波那契序列》還揭示了平方完美數(shù)與有名的孿生素數(shù)猜想之間的相互關(guān)系等奧秘，此外，作者還提出了一些可感知有意義的猜想。
《完美數(shù)與斐波那契序列》不僅對數(shù)論研究本身有較高的理論價值，且由于行文的流暢和內(nèi)容的可讀性，也具有數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的傳播功能。

完美數(shù)與斐波那契序列 目錄

目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
序言
第1章 完美數(shù)的歷史 1
1.1 何為完美數(shù)? 1
1.2《幾何原本》 3
1.3 尼科馬科斯 6
1.4 平方和與立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森數(shù)和梅森素數(shù) 13
1.7 笛卡爾與費爾馬 16
1.8 歐拉–歐幾里得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 雙L素數(shù)檢驗法 24
1.11 GIMPS計劃 27
第2章 完美數(shù)問題 30
2.1 偶完美數(shù)的性質(zhì) 30
2.2 完美數(shù)問題 33
2.3 奇完美數(shù) 35
2.4 托查德定理 36
2.5 虧數(shù)和盈數(shù) 38
2.6 奇異數(shù)和半完美數(shù) 39
2.7 歐爾數(shù)和調(diào)和中值 41
2.8 歐爾數(shù)的變種 43
2.9 親和數(shù)問題 46？
2.10 k階完美數(shù) 49
2.11 三種推廣 51
2.12 S-完美數(shù) 53
2.13 黃金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比薩的萊奧納多 60
3.2 兔子問題 63
3.3 通項和極限 67
3.4 與連分?jǐn)?shù)的關(guān)系 70
3.5 三個恒等式 72
3.6 相同的二項式系數(shù) 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齊肯多夫定理 81
3.9 從2進制到3進制 86
3.10 希爾伯特第10問題 90
第4章 盧卡斯數(shù)和盧卡斯序列 93
4.1 盧卡斯數(shù) 93
4.2 斐波那契數(shù)的判定 99
4.3 斐波那契數(shù)的素因子 102
4.4 斐波那契數(shù)的同余式 104
4.5 一個廣義的同余式 106
4.6 Narayana序列的同余式 108
4.7 畢達哥拉斯數(shù)組 111
4.8 丟番圖數(shù)組 114
4.9 生成函數(shù) 117
4.10 盧卡斯序列 120
4.11 皮薩羅周期 122
4.12 π(n)與π′(n) 124
4.13 盧卡斯數(shù)的素因子 126
第5章 完美數(shù)與斐波那契素數(shù) 128
5.1 平方完美數(shù) 128
5.2 若干引理 130
5.3 定理的證明 132
5.4 與完美數(shù)有關(guān)的一個新猜想 134
5.5 帶常數(shù)項的平方完美數(shù) 139
5.6 平方完美數(shù)與孿生素數(shù)猜想 143
5.7 費爾馬素數(shù)與GM數(shù) 146
5.8 abcd方程 149
5.9 橢圓曲線的應(yīng)用 153
5.10 盧卡斯序列 156
參考文獻 162
附錄1 前100個斐波那契數(shù)及其因子分解式 163
附錄2 前100個盧卡斯數(shù)及其因子分解式 167
索引 171
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 173
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完美數(shù)與斐波那契序列 節(jié)選

第1章 完美數(shù)的歷史 能找到的完美數(shù)不多，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事.——(法國)勒內(nèi) 笛卡爾 1.1 何為完美數(shù)? 2000年，美國的克萊數(shù)學(xué)研究所提出了“千禧年數(shù)學(xué)問題”，共有七個難題，并承諾為每個難題的解決給予100萬美元的獎賞.克萊(Landon Clay，1926—2017)是波士頓商人，他創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)研究所宗旨是“提升和傳播數(shù)學(xué)知識”.僅僅過了三年，其中的龐加萊猜想就被數(shù)學(xué)家佩雷爾曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又過了三年，在馬德里召開的第25屆國際數(shù)學(xué)家大會上，國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟授予佩雷爾曼數(shù)學(xué)領(lǐng)域的*高獎——菲爾茲獎，但他自認(rèn)為已經(jīng)從數(shù)學(xué)研究中獲得足夠的樂趣，故而拒絕領(lǐng)獎.稍后，他也拒絕了獎金豐厚的千禧年獎. 也是在2000年，意大利數(shù)學(xué)家、伽利略獎和皮亞諾獎獲得者皮 奧迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《數(shù)學(xué)世紀(jì)——過去100年間30個重大問題》一書，闡述了20世紀(jì)取得重大突破的30個數(shù)學(xué)問題或進展，其中純粹數(shù)學(xué)15個、應(yīng)用數(shù)學(xué)10個、數(shù)學(xué)與計算機5個.*后，他提出了未解決的4個難題，首先就是“完美數(shù)問題”，另外3個是黎曼猜想、龐加萊猜想和 P=NP 問題.奧迪弗雷迪曾執(zhí)教米蘭大學(xué)和美國康奈爾大學(xué)，現(xiàn)為都靈大學(xué)的數(shù)理邏輯學(xué)教授，其哲學(xué)和政治觀點趨近于羅素(Bertrand Russell，1872—1970)和喬姆斯基(Noam Chomsky，1928—). 完美數(shù)(Perfect number，希臘語)，又譯為完全數(shù)或完備數(shù)，是指這樣的正整數(shù)，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等于其本身.或許古埃及人已對此類數(shù)感興趣了，對此我們無法予以證實.但人們相信，公元前6世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580—前500)已經(jīng)做過這方面的研究了，他知道6和28是完美數(shù)，這是因為 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14. 畢達哥拉斯聲稱，“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身.” 從定義可以看出，一個自然數(shù) n 是完美數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足方程 圖1.1畢達哥拉斯像 (1.1) 這里Σ是求和符號.若用希臘字母sigma來記，即，則(1.1)等價于 (1.2) 《圣經(jīng) 舊約》首卷《創(chuàng)世紀(jì)》里提到，上帝用6天的時間創(chuàng)造了世界，第7天是休息日.1世紀(jì)成書的《論創(chuàng)造》是亞歷山大的菲羅(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，約前15—約50)的著作，這位操希臘語的猶太哲學(xué)家在書中聲稱，世界是在6天內(nèi)創(chuàng)造出來的，月亮圍繞地球旋轉(zhuǎn)所需的時間是28天.后來，希臘神學(xué)家、圣經(jīng)學(xué)家奧利金(Origen，約185—約254)和*博學(xué)的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，約313—約398)補充道，只有4個完美數(shù)小于10000. 圖1.2 圣奧古斯丁像 5世紀(jì)初，古羅馬哲學(xué)家、神學(xué)家圣奧古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中進一步寫道：“6這個數(shù)本身就是完美的，并不因為上帝造物用了6天；事實上，因為這個數(shù)是一個完美數(shù)，所以上帝在6天之內(nèi)就把一切事物都造好了.” 那以后，完美數(shù)尤其是數(shù)字6對人類就有了特殊的含義和吸引力.例如，19世紀(jì)的美國詩人薩克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依據(jù)古印度的寓言故事，寫成了一首詩《盲人與大象》，傳遍了世界.這首詩的開頭是這樣寫的， 六個印度斯坦男人 學(xué)習(xí)常常各有偏見 (雖說眼睛都已瞎了) 一次他們?nèi)タ创笙?各人用自己手觸摸 心里頭以為有把握 他們得出的結(jié)論分別是：身體像一堵墻，牙齒如標(biāo)槍，鼻子像一條蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵樹，尾巴如粗繩. 1919年出版的英國作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小說《月亮和六便士》，取材于法國畫家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避現(xiàn)實的主題使之成為流行小說，成為文學(xué)史的經(jīng)典之作.1968年，美國導(dǎo)演庫布里克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍攝了鴻篇巨制《2001：太空漫游》，被公認(rèn)為是引人深思的偉大影片之一.這部影片改編自科幻小說，虛構(gòu)了人類登陸八億公里以外木星的計劃，主要人物也是6位，他們是大衛(wèi)船長、飛行員弗蘭克、機器人HAL9000和三位冬眠的宇航員. 1.2 《幾何原本》 古希臘有兩個歐幾里得，一個是公元前5世紀(jì)后期蘇格拉底的學(xué)生、麥加拉哲學(xué)學(xué)派創(chuàng)立者 Euclid of Magara，另一個是我們熟知的有著“幾何學(xué)之父”美譽的數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世紀(jì)和前3世紀(jì)之交，雖說我們不知道他的生卒年和出生地，但確信他曾在雅典的柏拉圖學(xué)園求學(xué)，后來執(zhí)教于亞歷山大大學(xué)數(shù)學(xué)系. 歐幾里得的代表作《幾何原本》(Elements)主要講幾何學(xué)，但第7—9章是關(guān)于算術(shù)即數(shù)論的，包括給出前述完美數(shù)的定義，書中得到了偶數(shù)是完美數(shù)的一個充分條件，即 若p和均為素數(shù)，則 (1.3) 必定是完美數(shù). 圖1.3 19世紀(jì)的歐幾里得塑像，F(xiàn)藏牛津大學(xué)博物館 圖1.4 《幾何原本》英文版（1570） 為了證明(1.3)，我們先來給出上節(jié)定義的數(shù)論函數(shù)σ(n)的計算公式，同時論證它是可乘函數(shù)，也即對于任意互素的正整數(shù)m和n，恒有 首先，若n=p是素數(shù)，則顯然它只有1和p兩個因子， 其次，若n=pk，則n的每個因子必為形如pi的整數(shù)，此處故而，由等比級數(shù)的求和公式， 再次，設(shè)n是兩個不同素數(shù)的乘積，n=pq，則n的所有因子為1，p，q和pq，故而，現(xiàn)在，假設(shè)m和n是互素的正整數(shù)，若d|mn，則由數(shù)論的整除性質(zhì)可知，必定存在唯一的正整數(shù)dm和dn，dm|m，dn|n，滿足d=dmdn.事實上，我們可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，則由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此， σ(n)的可乘性得證. 有了σ(n)的可乘性，我們就可以得到它的計算公式 同時得知，(1.3)滿足(1.2)，||表示剛好整除. 歐幾里得的證明因為和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和為. 圖1.5 柏拉圖的弟子阿契塔 上述完美數(shù)的充分條件及其證明出現(xiàn)在《幾何原本》第9章，屬于命題36(*后一個命題)，在同一章的命題20，歐幾里得證明了素數(shù)有無窮多個.另一方面，相傳早在公元前4世紀(jì)，畢達哥拉斯學(xué)派的信徒、數(shù)學(xué)力學(xué)的奠基人阿契塔(Archytas，活動時期在公元前400—前350)就已經(jīng)知道了這個充分條件.阿契塔是哲學(xué)家柏拉圖(Plato，公元前427—前347)的摯友，曾擔(dān)任希臘軍隊總司令一職，也被認(rèn)為是風(fēng)箏的發(fā)明者. 值得一提的是，《幾何原本》中譯本是在1607年出版的，由意大利傳教士、漢學(xué)家利瑪竇(M.Ricci，1552—1610)和明代學(xué)者徐光啟(1562—1633)合作翻譯.可惜他們只譯出前6章.全譯本要等到1857年才出版，后9章由英國傳教士、漢學(xué)家偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)和清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811—1882)合譯.也就是說，直到那時，中國人才知道完美數(shù).據(jù)說當(dāng)年譯完前6章時，徐光啟余興未了，要求譯到第9章，利瑪竇未予同意.否則的話，我們祖先會早4個世紀(jì)就知道完美數(shù)和素數(shù)的那些事了. 1.3 尼科馬科斯 自從誕生以來，完美數(shù)就有著一種誘人的魔力，吸引著眾多的數(shù)學(xué)家和業(yè)余愛好者，他們像淘金者一樣，永不停歇地去尋找.接下來發(fā)現(xiàn)的第3個和第4個完美數(shù)分別是496和8128，大約在公元100年，新畢達哥拉斯學(xué)派成員尼科馬科斯(Nicomachus，約60—約120)寫下了名著《算術(shù)引論》( Introduction to Arithmetic)，提到了這兩個完美數(shù)，這是現(xiàn)存*早的文字記錄. 在《算術(shù)引論》一書中，尼科馬科斯還提出了有關(guān)完美數(shù)的5個猜想，這些也是關(guān)于完美數(shù)*早的猜想： 圖1.6 《算術(shù)引論》的阿拉伯文譯本(901)，敘利亞數(shù)學(xué)家泰比特譯，現(xiàn)藏大英圖書館 1)第n個完美數(shù)是n位數(shù); 2)所有的完美數(shù)都是偶數(shù); 3)完美數(shù)交替以6和8結(jié)尾; 4)《幾何原本》中完美數(shù)的充分性也是必要的; 5)存在無窮多個完美數(shù). 這其中，1)和3)后來被證明是錯誤的，4)被18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L. Euler，1707—1783)證明了2)和5)，即今天所指的完美數(shù)問題. 尼科馬科斯出生于羅馬帝國敘利亞行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被稱為Nicomachus of Gerasa.事實上，公元前4世紀(jì)，古希臘出過一個叫尼科馬科斯的畫家，只是作者既沒見到過他的作品，也不知兩個尼科馬科斯是否有血緣關(guān)系.

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