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數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)踐 版權(quán)信息
- ISBN：9787030698988
- 條形碼：9787030698988 ; 978-7-03-069898-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)踐 內(nèi)容簡介
本書是《數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)模型建立實(shí)踐系列教材》之一，內(nèi)容包括：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖論及其應(yīng)用、組合數(shù)學(xué)、多元統(tǒng)計(jì)分析、微分方程、數(shù)值計(jì)算等。每章為相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)方法與建模實(shí)踐單元。通過建模案例和建模實(shí)踐，讀者可以掌握基本數(shù)學(xué)方法和應(yīng)用。本書可作為高等本科學(xué)校數(shù)學(xué)建模課程教材，也可作為大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)教材，以及科技工作者的參考書。
數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)踐 目錄
目錄
序
前言
第1章 線性規(guī)劃 1
1.1 引例 1
1.2 基本概念 2
1.2.1 線性規(guī)劃問題及模型 2
1.2.2 線性規(guī)劃的圖解法 8
1.2.3 線性規(guī)劃有關(guān)解的概念與性質(zhì) 11
1.2.4 線性規(guī)劃的基本理論 14
1.3 運(yùn)輸問題 16
1.3.1 運(yùn)輸問題模型與特點(diǎn) 16
1.3.2 特殊情況的處理 20
1.4 整數(shù)規(guī)劃 24
1.4.1 整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn) 25
1.4.2 分支定界法 27
1.4.3 0-1整數(shù)規(guī)劃 31
1.4.4 指派問題 36
1.5 軟件求解 38
1.6 應(yīng)用案例 42
第2章 非線性規(guī)劃 49
2.1 引例 49
2.2 基本概念與結(jié)論 51
2.2.1 凸集與凸函數(shù) 51
2.2.2 凸規(guī)劃 53
2.3 極值條件 54
2.3.1 無約束問題的極值條件 54
2.3.2 有約束問題的極值條件 55
2.4 無約束非線性規(guī)劃 58
2.4.1 一維搜索 58
2.4.2 *速下降法 60
2.4.3 牛頓法 61
2.4.4 阻尼牛頓法 63
2.4.5 模式搜索法 63
2.4.6 Powell方法 67
2.5 有約束非線性規(guī)劃 70
2.5.1 外點(diǎn)罰函數(shù)法 70
2.5.2 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法 73
2.6 應(yīng)用案例 76
第3章 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 81
3.1 引例 81
3.2 基本概念與原理 82
3.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解 84
3.4 應(yīng)用案例 85
第4章 圖論基礎(chǔ) 93
4.1 引例 93
4.2 基本概念 95
4.2.1 圖的定義 95
4.2.2 頂點(diǎn)的度 97
4.2.3 圖的同構(gòu) 98
4.2.4 圖的矩陣表示 99
4.2.5 子圖 101
4.2.6 通路與距離 102
4.2.7 連通性 103
4.2.8 *短路問題 103
4.2.9 應(yīng)用實(shí)例:設(shè)備更新問題 106
4.3 樹及其應(yīng)用 108
4.3.1 無向樹 108
4.3.2 *優(yōu)生成樹 110
4.3.3 有向樹 111
4.3.4 連通度 113
4.4 歐拉圖與哈密頓圖 115
4.4.1 歐拉圖 115
4.4.2 哈密頓圖 117
4.4.3 中國郵路問題簡介 121
4.5 偶圖匹配及其應(yīng)用 122
4.5.1 偶圖 122
4.5.2 匹配 123
4.5.3 偶圖的匹配 124
4.6 圖的著色 127
4.6.1 邊著色 127
4.6.2 頂點(diǎn)著色 129
4.6.3 邊著色的應(yīng)用:排課表問題 130
4.7 平面圖 132
4.7.1 平面圖的基本概念 132
4.7.2 平面圖的幾個(gè)關(guān)系式 134
4.7.3 平面圖的判定 136
4.8 網(wǎng)絡(luò)流 137
4.8.1 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與*大流 137
4.8.2 *大流的計(jì)算 139
4.8.3 *大流問題的推廣 142
4.9 應(yīng)用案例 144
4.9.1 問題背景 144
4.9.2 基本假設(shè) 144
4.9.3 公交線路選擇模型的建立與求解 145
4.9.4 公汽地鐵線路選擇模型 152
4.9.5 公汽、地鐵和步行線路選擇模型的建立 152
4.9.6 算法時(shí)間復(fù)雜度分析 153
第5章 組合數(shù)學(xué) 155
5.1 引例 155
5.2 排列與組合的概念 158
5.2.1 兩個(gè)基本法則 158
5.2.2 排列與組合的概念 160
5.2.3 模型轉(zhuǎn)換 165
5.2.4 全排列的生成算法 166
5.2.5 組合的生成算法 168
5.2.6 一些組合恒等式 168
5.2.7 實(shí)例:多人在場加密特征問題 170
5.3 鴿籠原理與容斥原理 171
5.3.1 鴿籠原理 171
5.3.2 容斥原理 173
5.3.3 容斥原理的一般形式 176
5.3.4 錯(cuò)排問題 178
5.3.5 有禁位的排列 180
5.3.6 相對位有禁位的排列 184
5.3.7 應(yīng)用實(shí)例:鎖具裝箱問題 185
5.4 母函數(shù)和遞推關(guān)系 187
5.4.1 普通母函數(shù) 187
5.4.2 母函數(shù)的一個(gè)性質(zhì) 190
5.4.3 指數(shù)型母函數(shù) 192
5.4.4 遞推關(guān)系的定義與建立 193
5.4.5 遞推關(guān)系的求解 194
5.4.6 常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系的求解 197
5.4.7 常系數(shù)線性非齊次的求解 201
5.4.8 應(yīng)用實(shí)例:昆蟲繁殖問題 205
5.5 應(yīng)用案例 206
5.5.1 問題背景 206
5.5.2 問題分析 208
5.5.3 基本假設(shè) 209
5.5.4 模型的建立和求解 209
5.5.5 模型分析 216
5.5.6 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn) 217
5.5.7 給彩票管理部門的建議 218
第6章 多元統(tǒng)計(jì)分析 219
6.1 分布假設(shè)檢驗(yàn) 219
6.1.1 χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法的基本原理和步驟 220
6.1.2 應(yīng)用實(shí)例 221
6.1.3 MATLAB中分布的假設(shè)檢驗(yàn) 224
6.2 方差分析 225
6.2.1 單因素試驗(yàn)的方差分析 228
6.2.2 多因素方差分析 232
6.2.3 多因素方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 237
6.3 回歸分析 239
6.3.1 一元線性回歸分析 240
6.3.2 多元線性回歸模型 246
6.3.3 可線性化的一元非線性回歸 251
6.3.4 逐步回歸分析 252
6.3.5 回歸分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 253
6.4 聚類分析 255
6.4.1 基本概念 255
6.4.2 系統(tǒng)聚類法 257
6.4.3 動(dòng)態(tài)聚類法 262
6.4.4 聚類分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 265
第7章 微分方程建模分析 267
7.1 引例 268
7.1.1 常微分方程模型建立 268
7.1.2 偏微分方程模型建立 270
7.2 微分方程的解法與分析 274
7.2.1 微分方程的求解 274
7.2.2 微分方程解法 280
7.2.3 微分方程組的解法 285
7.3 相圖與穩(wěn)定性分析 290
7.3.1 解的存在性與穩(wěn)定性 291
7.3.2 相軌線與相圖 292
7.3.3 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)分類 298
7.4 應(yīng)用案例 306
7.4.1 火箭推力與衛(wèi)星發(fā)射問題 306
7.4.2 SARS流行病傳播建模 309
7.4.3 高溫環(huán)境下專用服裝熱傳導(dǎo)建模 315
7.4.4 燃油發(fā)動(dòng)機(jī)高壓油管建模 318
7.4.5 回焊爐*優(yōu)爐溫建模 322
第8章 數(shù)值計(jì)算 326
8.1 引例 327
8.1.1 誤差來源 328
8.1.2 誤差在計(jì)算中的傳導(dǎo) 328
8.1.3 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 329
8.1.4 數(shù)值計(jì)算的基本原則 331
8.2 非線性方程求根 333
8.2.1 二分法 333
8.2.2 牛頓迭代法 334
8.2.3 弦截法 337
8.3 線性方程組的直接法 338
8.3.1 高斯消元法 338
8.3.2 LU分解與線性方程組求解 342
8.4 線性方程組的迭代法 344
8.4.1 迭代法基礎(chǔ) 344
8.4.2 雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代 348
8.4.3 *速下降法 353
8.4.4 矩陣計(jì)算的主要MATLAB相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用實(shí)例 354
8.5 數(shù)據(jù)插值與擬合 357
8.5.1 拉格朗日插值 357
8.5.2 樣條插值 359
8.5.3 數(shù)據(jù)擬合與*小二乘法 361
8.6 數(shù)值積分 363
8.6.1 梯形公式及其復(fù)合公式 363
8.6.2 高斯求積公式 366
8.7 常微分方程求解 369
8.7.1 歐拉方法 369
8.7.2 龍格-庫塔方法 371
8.7.3 MATLAB求解一階常微分方程 373
8.8 應(yīng)用案例 373
8.8.1 案例1——捕食者與被捕食者模型 373
8.8.2 案例2——PDE工具箱求解偏微分方程 374
參考文獻(xiàn) 378
序
前言
第1章 線性規(guī)劃 1
1.1 引例 1
1.2 基本概念 2
1.2.1 線性規(guī)劃問題及模型 2
1.2.2 線性規(guī)劃的圖解法 8
1.2.3 線性規(guī)劃有關(guān)解的概念與性質(zhì) 11
1.2.4 線性規(guī)劃的基本理論 14
1.3 運(yùn)輸問題 16
1.3.1 運(yùn)輸問題模型與特點(diǎn) 16
1.3.2 特殊情況的處理 20
1.4 整數(shù)規(guī)劃 24
1.4.1 整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn) 25
1.4.2 分支定界法 27
1.4.3 0-1整數(shù)規(guī)劃 31
1.4.4 指派問題 36
1.5 軟件求解 38
1.6 應(yīng)用案例 42
第2章 非線性規(guī)劃 49
2.1 引例 49
2.2 基本概念與結(jié)論 51
2.2.1 凸集與凸函數(shù) 51
2.2.2 凸規(guī)劃 53
2.3 極值條件 54
2.3.1 無約束問題的極值條件 54
2.3.2 有約束問題的極值條件 55
2.4 無約束非線性規(guī)劃 58
2.4.1 一維搜索 58
2.4.2 *速下降法 60
2.4.3 牛頓法 61
2.4.4 阻尼牛頓法 63
2.4.5 模式搜索法 63
2.4.6 Powell方法 67
2.5 有約束非線性規(guī)劃 70
2.5.1 外點(diǎn)罰函數(shù)法 70
2.5.2 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法 73
2.6 應(yīng)用案例 76
第3章 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 81
3.1 引例 81
3.2 基本概念與原理 82
3.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解 84
3.4 應(yīng)用案例 85
第4章 圖論基礎(chǔ) 93
4.1 引例 93
4.2 基本概念 95
4.2.1 圖的定義 95
4.2.2 頂點(diǎn)的度 97
4.2.3 圖的同構(gòu) 98
4.2.4 圖的矩陣表示 99
4.2.5 子圖 101
4.2.6 通路與距離 102
4.2.7 連通性 103
4.2.8 *短路問題 103
4.2.9 應(yīng)用實(shí)例:設(shè)備更新問題 106
4.3 樹及其應(yīng)用 108
4.3.1 無向樹 108
4.3.2 *優(yōu)生成樹 110
4.3.3 有向樹 111
4.3.4 連通度 113
4.4 歐拉圖與哈密頓圖 115
4.4.1 歐拉圖 115
4.4.2 哈密頓圖 117
4.4.3 中國郵路問題簡介 121
4.5 偶圖匹配及其應(yīng)用 122
4.5.1 偶圖 122
4.5.2 匹配 123
4.5.3 偶圖的匹配 124
4.6 圖的著色 127
4.6.1 邊著色 127
4.6.2 頂點(diǎn)著色 129
4.6.3 邊著色的應(yīng)用:排課表問題 130
4.7 平面圖 132
4.7.1 平面圖的基本概念 132
4.7.2 平面圖的幾個(gè)關(guān)系式 134
4.7.3 平面圖的判定 136
4.8 網(wǎng)絡(luò)流 137
4.8.1 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與*大流 137
4.8.2 *大流的計(jì)算 139
4.8.3 *大流問題的推廣 142
4.9 應(yīng)用案例 144
4.9.1 問題背景 144
4.9.2 基本假設(shè) 144
4.9.3 公交線路選擇模型的建立與求解 145
4.9.4 公汽地鐵線路選擇模型 152
4.9.5 公汽、地鐵和步行線路選擇模型的建立 152
4.9.6 算法時(shí)間復(fù)雜度分析 153
第5章 組合數(shù)學(xué) 155
5.1 引例 155
5.2 排列與組合的概念 158
5.2.1 兩個(gè)基本法則 158
5.2.2 排列與組合的概念 160
5.2.3 模型轉(zhuǎn)換 165
5.2.4 全排列的生成算法 166
5.2.5 組合的生成算法 168
5.2.6 一些組合恒等式 168
5.2.7 實(shí)例:多人在場加密特征問題 170
5.3 鴿籠原理與容斥原理 171
5.3.1 鴿籠原理 171
5.3.2 容斥原理 173
5.3.3 容斥原理的一般形式 176
5.3.4 錯(cuò)排問題 178
5.3.5 有禁位的排列 180
5.3.6 相對位有禁位的排列 184
5.3.7 應(yīng)用實(shí)例:鎖具裝箱問題 185
5.4 母函數(shù)和遞推關(guān)系 187
5.4.1 普通母函數(shù) 187
5.4.2 母函數(shù)的一個(gè)性質(zhì) 190
5.4.3 指數(shù)型母函數(shù) 192
5.4.4 遞推關(guān)系的定義與建立 193
5.4.5 遞推關(guān)系的求解 194
5.4.6 常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系的求解 197
5.4.7 常系數(shù)線性非齊次的求解 201
5.4.8 應(yīng)用實(shí)例:昆蟲繁殖問題 205
5.5 應(yīng)用案例 206
5.5.1 問題背景 206
5.5.2 問題分析 208
5.5.3 基本假設(shè) 209
5.5.4 模型的建立和求解 209
5.5.5 模型分析 216
5.5.6 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn) 217
5.5.7 給彩票管理部門的建議 218
第6章 多元統(tǒng)計(jì)分析 219
6.1 分布假設(shè)檢驗(yàn) 219
6.1.1 χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法的基本原理和步驟 220
6.1.2 應(yīng)用實(shí)例 221
6.1.3 MATLAB中分布的假設(shè)檢驗(yàn) 224
6.2 方差分析 225
6.2.1 單因素試驗(yàn)的方差分析 228
6.2.2 多因素方差分析 232
6.2.3 多因素方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 237
6.3 回歸分析 239
6.3.1 一元線性回歸分析 240
6.3.2 多元線性回歸模型 246
6.3.3 可線性化的一元非線性回歸 251
6.3.4 逐步回歸分析 252
6.3.5 回歸分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 253
6.4 聚類分析 255
6.4.1 基本概念 255
6.4.2 系統(tǒng)聚類法 257
6.4.3 動(dòng)態(tài)聚類法 262
6.4.4 聚類分析的MATLAB實(shí)現(xiàn) 265
第7章 微分方程建模分析 267
7.1 引例 268
7.1.1 常微分方程模型建立 268
7.1.2 偏微分方程模型建立 270
7.2 微分方程的解法與分析 274
7.2.1 微分方程的求解 274
7.2.2 微分方程解法 280
7.2.3 微分方程組的解法 285
7.3 相圖與穩(wěn)定性分析 290
7.3.1 解的存在性與穩(wěn)定性 291
7.3.2 相軌線與相圖 292
7.3.3 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)分類 298
7.4 應(yīng)用案例 306
7.4.1 火箭推力與衛(wèi)星發(fā)射問題 306
7.4.2 SARS流行病傳播建模 309
7.4.3 高溫環(huán)境下專用服裝熱傳導(dǎo)建模 315
7.4.4 燃油發(fā)動(dòng)機(jī)高壓油管建模 318
7.4.5 回焊爐*優(yōu)爐溫建模 322
第8章 數(shù)值計(jì)算 326
8.1 引例 327
8.1.1 誤差來源 328
8.1.2 誤差在計(jì)算中的傳導(dǎo) 328
8.1.3 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 329
8.1.4 數(shù)值計(jì)算的基本原則 331
8.2 非線性方程求根 333
8.2.1 二分法 333
8.2.2 牛頓迭代法 334
8.2.3 弦截法 337
8.3 線性方程組的直接法 338
8.3.1 高斯消元法 338
8.3.2 LU分解與線性方程組求解 342
8.4 線性方程組的迭代法 344
8.4.1 迭代法基礎(chǔ) 344
8.4.2 雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代 348
8.4.3 *速下降法 353
8.4.4 矩陣計(jì)算的主要MATLAB相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用實(shí)例 354
8.5 數(shù)據(jù)插值與擬合 357
8.5.1 拉格朗日插值 357
8.5.2 樣條插值 359
8.5.3 數(shù)據(jù)擬合與*小二乘法 361
8.6 數(shù)值積分 363
8.6.1 梯形公式及其復(fù)合公式 363
8.6.2 高斯求積公式 366
8.7 常微分方程求解 369
8.7.1 歐拉方法 369
8.7.2 龍格-庫塔方法 371
8.7.3 MATLAB求解一階常微分方程 373
8.8 應(yīng)用案例 373
8.8.1 案例1——捕食者與被捕食者模型 373
8.8.2 案例2——PDE工具箱求解偏微分方程 374
參考文獻(xiàn) 378
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數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)踐 節(jié)選
第1章 線性規(guī)劃 線性規(guī)劃(linear programming，LP)，是研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值的數(shù)學(xué)方法.對于整個(gè)運(yùn)籌學(xué)來說，線性規(guī)劃是*早、*成熟的一個(gè)分支.1947年，George Dantzig開發(fā)了一種解決線性規(guī)劃問題的有效方法——單純形算法.自單純形算法開發(fā)以來，線性規(guī)劃一直用于銀行、教育、林業(yè)、石油和運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)中解決*優(yōu)化問題.有些規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)是非線性的，但往往可以采用分段線性化等方法，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.用線性規(guī)劃求解的典型問題有運(yùn)輸問題、生產(chǎn)計(jì)劃、套裁下料、混合配料、證券投資選擇、人事計(jì)劃、庫存計(jì)劃與控制、消防系統(tǒng)選址等. 本章將主要介紹線性規(guī)劃的基本知識(shí)，以及運(yùn)輸問題和整數(shù)規(guī)劃，并介紹優(yōu)化軟件LINDO求解方法.在學(xué)習(xí)過程中，讀者可以結(jié)合軟件快速掌握相關(guān)知識(shí). 1.1 引例 案例1 某公司生產(chǎn)兩種化學(xué)產(chǎn)品，其耗材與獲利情況如表1.1.1. 表1.1.1 決策表 問題是： (1)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃使得獲利*大? (2)若產(chǎn)品2獲利提高，提高多少可能導(dǎo)致生產(chǎn)計(jì)劃改變？ (3)若原材料供應(yīng)量增加，生產(chǎn)計(jì)劃如何調(diào)整？ (4)若原料3的市場價(jià)格為30萬元/噸，問公司是否應(yīng)購買原料3，若購買以多少為宜？ 案例2 某工廠近期接到一批訂單，要安排生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品分別需要原料A，B，C中的一種或幾種中的若干單位，合同規(guī)定要在15天內(nèi)完成，但數(shù)量不限.由于四種產(chǎn)品都在一種設(shè)備上生產(chǎn)，且一臺(tái)設(shè)備同一時(shí)間只能加工一件產(chǎn)品.目前工廠只有一臺(tái)正在使用中的這種設(shè)備(暫稱設(shè)備1)，合同期內(nèi)可擠出3天來生產(chǎn)這批訂單，但會(huì)產(chǎn)生150元的機(jī)會(huì)成本損失;還有一臺(tái)長期未用的設(shè)備(設(shè)備2)可以啟用，啟用時(shí)要做必要的檢查和修理，費(fèi)用是1000元;公司還考慮向鄰廠租用兩臺(tái)這種設(shè)備(設(shè)備3和設(shè)備4)，由于對方也在統(tǒng)籌使用設(shè)備，租期分別只能是7天和12天，而且租期正好在合同期內(nèi)，租金分別是2000和3100元，工廠決定租一臺(tái)或兩臺(tái)，或一臺(tái)也不租.另外每種產(chǎn)品如果生產(chǎn)的話會(huì)有固定成本和變動(dòng)成本，這些數(shù)據(jù)加上每種產(chǎn)品所需的原料種類或數(shù)目、各種原料的可用數(shù)量以及制造每種產(chǎn)品所需的工時(shí)數(shù)和每種產(chǎn)品的單位價(jià)格都是已知的.假設(shè)每天工作8小時(shí)(這意味著四臺(tái)設(shè)備的可用臺(tái)時(shí)分別為24，120，56，96)，并且假設(shè)工廠*多使用這四臺(tái)設(shè)備中的三臺(tái).問工廠如何安排這四種產(chǎn)品的產(chǎn)量和利用哪些設(shè)備，能在上述資源限制條件下獲得的利潤*大？ 1.2 基本概念 線性規(guī)劃問題可以分為兩類. (1)如何合理地使用有限的資源(原材料、勞動(dòng)力、設(shè)備臺(tái)時(shí)、資金等)以得到*大的效益(如利潤*大或風(fēng)險(xiǎn)*小). (2)為了達(dá)到一定的目標(biāo)(生產(chǎn)指標(biāo)或其他指標(biāo))，如何組織生產(chǎn)或安排相關(guān)計(jì)劃以使消耗資源(原材料、勞動(dòng)力、設(shè)備臺(tái)時(shí)、資金等)*少. 線性規(guī)劃模型通常包含以下三個(gè)部分. 決策變量 問題中可以控制的變化因素，通常記為，它的值可以至少在某一范圍內(nèi)變化.決策變量可分為兩類：離散變量，如生產(chǎn)電子產(chǎn)品的件數(shù);連續(xù)變量，如農(nóng)作物的施肥量.決策變量又稱可控變量. 目標(biāo)函數(shù)通過變量構(gòu)造的函數(shù)來表達(dá)決策者的某種愿望，如*大利潤或*小成本等. 約束條件問題中必須滿足的條件，如有限的人工時(shí)間、資金等，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以是以下三種形式之一，f(x).b，或f(x).b，或f(x)=b. 1.2.1 線性規(guī)劃問題及模型 1.建立線性規(guī)劃模型的例子 例1.2.1 某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知制造甲產(chǎn)品需要A型配件5個(gè)，B型配件3個(gè);制造乙產(chǎn)品需要A型配件2個(gè)，B型配件4個(gè).而在計(jì)劃期內(nèi)該工廠只能提供A型配件180個(gè)，B型配件135個(gè).又知道該工廠每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可獲利潤20元，一件乙產(chǎn)品可獲利潤15元.問在計(jì)劃期內(nèi)甲、乙產(chǎn)品應(yīng)該各安排生產(chǎn)多少件，才能使總利潤*大? 解 將所述情況列成表格，這種表格通常稱為決策表，見表1.2.1.確定決策變量，即能在實(shí)際中加以控制的那些變量如下： x1:生產(chǎn)甲產(chǎn)品的件數(shù)，x2:生產(chǎn)乙產(chǎn)品的件數(shù). 目標(biāo)函數(shù)來自于決策者的希望(或愿望)，一般是：à使利潤達(dá)到*大;á使資源(如人、機(jī)器、系統(tǒng))利用率達(dá)到*大;.使一個(gè)給定的生產(chǎn)過程保持在一定的控制范圍內(nèi)的概率達(dá)到*大;.使成本達(dá)到*小;.使加班工作時(shí)間達(dá)到*小;.使勞動(dòng)力調(diào)動(dòng)*小;.使機(jī)器停修時(shí)間*小;.使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到*小(對個(gè)人、企業(yè)、環(huán)境);使與標(biāo)準(zhǔn)值的偏差量達(dá)到*小;等等. 本例中決策者希望總利潤*大.因該工廠每生產(chǎn)x1件甲產(chǎn)品可獲利潤20x1元，生產(chǎn)x2件乙產(chǎn)品可獲利潤15x2元.設(shè)總利潤為z，則目標(biāo)函數(shù)為 在滿足約束條件下，求出使z達(dá)*大的自變量x1，x2的值即可. 表1.2.1 決策表 約束條件一般包含： (1)有限的原材料、有限的資金預(yù)算、有限的時(shí)間、有限的人員以及有限的能力或技術(shù)等等; (2)各種“法定的”或受物理規(guī)律限制的現(xiàn)實(shí)目標(biāo)，例如，變量僅取非負(fù)值的約定要求; (3)規(guī)定一個(gè)函數(shù)必須大于等于(或者小于等于)某一*小(*大)值的約定要求; (4)對變量在上下限范圍內(nèi)取值的實(shí)際限制(如一個(gè)系統(tǒng)元件的溫度必須限制在它能承受的范圍內(nèi)). 列出各種約束條件后，應(yīng)該進(jìn)行仔細(xì)檢查它們是否有明顯的重復(fù)，是否可以組合或合并. 在本例中生產(chǎn)受配件總數(shù)的限制，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共需要A型配件5x1+2x2個(gè)，而在計(jì)劃期內(nèi)該廠只能提供A型配件180個(gè)，從而得到**個(gè)約束需B型配件3x1+4x2個(gè)，而在計(jì)劃期內(nèi)該廠只能提供B型配件135個(gè)，從而得到第二個(gè)約束 同時(shí)，注意到產(chǎn)品數(shù)不能為負(fù)數(shù)，從而有 綜上，可得如下數(shù)學(xué)模型： 其中，是subject to的縮寫，表示“受 約束”. 現(xiàn)在已建立起一個(gè)數(shù)學(xué)模型，要求在滿足約束條件下使目標(biāo)達(dá)到*大值，這類*值問題稱為規(guī)劃問題. 2.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 此類規(guī)劃問題具有以下特征. (1)用決策變量表示可控因素，變量的一組取值(x1，x2， ，xn)代表一個(gè)解決方案，通常要求變量取非負(fù)值. (2)存在一定的約束條件(例如材料、人力、設(shè)備、時(shí)間、費(fèi)用等的限制)，可以用自變量的線性方程或線性不等式來表示. (3)都有一個(gè)需達(dá)到的目標(biāo)，該目標(biāo)也是自變量的線性函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù).根據(jù)需要使目標(biāo)函數(shù)*大化或*小化. 這類目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是自變量的線性函數(shù)的規(guī)劃問題被稱為線性規(guī)劃問題.對線性規(guī)劃問題而言，滿足所有約束條件(包括非負(fù)條件)的解稱為可行解，所有可行解構(gòu)成的集合稱為可行域.求解線性規(guī)劃的目標(biāo)就是在可行域中尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到*大或*小值的可行解.下面，將前例推廣到一般情形. 假定線性規(guī)劃問題有n個(gè)變量，分別用xj(j=1，2， ，n)表示，在目標(biāo)函數(shù)中xj的系數(shù)為cj(cj通常稱為價(jià)值系數(shù));xj的取值受到m項(xiàng)資源的限制，用bi(i=1，2， ，m)表示第i種資源擁有量，每單位xj消耗(或含有)第i種資源的數(shù)量用aij表示，稱aij為技術(shù)系數(shù)或工藝系數(shù).這時(shí)，線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可抽象為 實(shí)際問題中變量xj的取值一般非負(fù)，即，但從數(shù)學(xué)意義上來說可以有xj.0;當(dāng)xj的取值范圍為時(shí)，稱xj無約束. 3.線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式 由于線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件各有多種表現(xiàn)形式，為了得到一種普遍適用的求解方法，需要將線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型化為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)形式. 標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃模型中要求： (1)目標(biāo)函數(shù)一律是求*大值(有的書上是求*小值); (2)約束條件一律化為等式; (3)約束條件右端常數(shù)項(xiàng)bi一律為非負(fù)值，即; (4)變量xj取值一律為非負(fù)值，即. 標(biāo)準(zhǔn)形式的表示方法有如下四種. (i)一般表達(dá)形式： (1.2.1) (ii)簡寫形式： (1.2.2) (iii)向量形式： (1.2.3) 其中 (iv)矩陣形式： (1.2.4) 其中，C，X，b同上， 對不符合標(biāo)準(zhǔn)形式(稱非標(biāo)準(zhǔn)形式)的線性規(guī)劃問題，可通過以下方法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式. (1)目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化. 若原問題的目標(biāo)函數(shù)是求*小值，即 則可將目標(biāo)函數(shù)乘以.1，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求*大值
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