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線性代數(shù)(第三版)

線性代數(shù)(第三版)

作者：張軍好
出版社：科學(xué)出版社出版時間：2021-06-01
開本： 16開 頁數(shù)： 199
本類榜單：教材銷量榜
中 圖 價:¥31.9(6.5折) 定價  ¥49.0 登錄后可看到會員價
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線性代數(shù)(第三版) 版權(quán)信息

  • ISBN：9787030504708
  • 條形碼：9787030504708 ; 978-7-03-050470-8
  • 裝幀：一般膠版紙
  • 冊數(shù)：暫無
  • 重量：暫無
  • 所屬分類：>

線性代數(shù)(第三版) 內(nèi)容簡介

《線性代數(shù)（第三版）》是按新時期大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱編寫，內(nèi)容豐富、理論嚴(yán)謹(jǐn)、思路清晰、例題典型、方法性強(qiáng)，注重分析解題思路與規(guī)律，對培養(yǎng)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及分析問題和解決問題的能力將起到較大的作用！毒性代數(shù)（第三版）》共分6章，內(nèi)容涵蓋了行列式、矩陣及其運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性、線性方程組解的結(jié)構(gòu)、方陣的特征值與特征向量、二次型等。書后附有一套線性代數(shù)綜合測試題及各章習(xí)題的參考答案。

線性代數(shù)(第三版) 目錄

目錄
第三版前言
第二版前言
**版前言
第1章 n階行列式 1
1.1 二階行列式與三階行列式 1
1.2 排列及其對換 3
1.3 n階行列式的定義 5
1.4 行列式的性質(zhì) 7
1.5 行列式的展開性質(zhì) 14
1.6 克拉默法則 20
習(xí)題1 24
第2章 矩陣及其運(yùn)算 28
2.1 矩陣的概念 28
2.2 矩陣的運(yùn)算 31
2.2.1 矩陣的加法與減法運(yùn)算 31
2.2.2 數(shù)與矩陣相乘（矩陣的數(shù)乘運(yùn)算） 32
2.2.3 矩陣與矩陣相乘（矩陣的乘法運(yùn)算） 33
2.2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置（矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算） 36
2.2.5 方陣的行列式 39
2.2.6 共軛矩陣 40
2.3 逆矩陣 41
2.4 分塊矩陣及其運(yùn)算 50
2.5 矩陣的初等變換與等價標(biāo)準(zhǔn)型 55
2.6 矩陣的秩與秩子式 60
2.7 消元法解線性方程組 65
習(xí)題2 76
第3章 向量組的線性相關(guān)性 79
3.1 向量組及其線性相關(guān)性 79
3.2 向量組的線性表示 83
3.3 向量組的極大無關(guān)組與秩 89
3.4 向量空間 92
習(xí)題3 100
第4章 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 103
4.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 103
4.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 109
習(xí)題4 122
第5章 方陣的特征值與特征向量 126
5.1 向量的內(nèi)積、長度及正交性 126
5.2 特征值與特征向量 132
5.3 相似矩陣 138
5.4 實對稱矩陣的對角化 143
習(xí)題5 152
第6章 二次型 155
6.1 二次型及其矩陣 155
6.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 158
6.3 正定二次型 168
習(xí)題6 175
線性代數(shù)綜合測試題 177
習(xí)題答案 180
主要參考文獻(xiàn) 199
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線性代數(shù)(第三版) 節(jié)選

第1章 n階行列式 n階行列式理論是線性代數(shù)中*基本的內(nèi)容之一，它產(chǎn)生于線性方程組求解公式——克拉默（Cramer）法則，又自成體系，形成了自己的核心內(nèi)容：定義、性質(zhì)、計算方法。本章重點(diǎn)要講解行列式定義和計算方法——化三角形法。學(xué)習(xí)的困難之處在于行列式的定義的理解和展開性質(zhì)的應(yīng)用。 1.1 二階行列式與三階行列式 在中學(xué)，大家學(xué)習(xí)了線性方程組的加減消元法和代入消元法求方程組的解。例如，解二元線性方程組 就可以這樣解：①×6-②×4，得 ①×5-②×3，得 現(xiàn)在的問題是，怎樣記住解x，y的分子、分母呢？ 首先，從x，y變形以后的分母看到3，6，5，4就是方程組中x，y的系數(shù)，因此，我們能想到規(guī)定記號 這樣，我們就有了一種新的方法。例如， 其次，觀察x，y的分子，我們看到x的分子 是用常數(shù)項“取代”了分母中的x的系數(shù)；y的分子 是用常數(shù)項“取代”了分母中的y的系數(shù)。顯然，對于一般的二元一次方程組的解，規(guī)定公分母為（1.1） 則有如下求解公式： 同樣，我們也可以運(yùn)用消元法求出三元一次方程組的解，其公分母為 （1.2） 故可得到如下求解公式: 由以上線性方程組的求解已經(jīng)看到了新的解法中，式（1.1）和式（1.2）中的記號的作用。我們分別把這種記號稱為二階行列式和三階行列式。 大家可能很想繼續(xù)再解出4元，5元， ，n元一次方程組的解的公分母而規(guī)定4階，5階， ，n階行列式。那么，一方面，每次找公分母的工作量巨大；另一方面，由于消元法每一步只能消去一個未知量——1元，對于一般的n元一次方程組，消元法難以完成。 另外，我們規(guī)定的n階行列式還必須滿足如下要求：n個方程的n元一次方程組的解的公分母就是n階系數(shù)行列式，而每個未知量的分子就是用常數(shù)項“取代”分母中它的系數(shù)而得到的n階行列式。 練習(xí)1.1 1. 計算下列行列式: （1） （2） （3） （4） 2. 解線性方程組 1.2 排列及其對換 為了定義n階行列式，我們先給出n級排列的概念。 定義1.1 由數(shù)字1，2，3， ，n排成的有序數(shù)組i1i2i3 in稱為一個n級排列，簡稱為排列。特別地，n級排列123 n稱為n級自然排列或n級標(biāo)準(zhǔn)排列。 對于一個n級排列中的兩個數(shù)字，以它們在標(biāo)準(zhǔn)排列中的位置次序為“標(biāo)準(zhǔn)”給出它們在這個排列中的“序關(guān)系”如下： 定義1.2 在一個n級排列i1 is it in（sit，則稱它們構(gòu)成一個逆序。排列i1i2i3 in中全部逆序的總個數(shù)稱為排列的逆序數(shù)，記作N（i1i2i3 in）。 例1.1 求排列514362的逆序數(shù)。 解該排列中，5后面有1，4，3，2，這4個數(shù)比5；1后面有0個比1；4后面有3，2，這2個數(shù)比4；3后面有2，這1個數(shù)比3。6后面有2，這1個數(shù)比6小，這是全部構(gòu)成逆序的數(shù)字，共有4+0+2+1+1＝8對，因此N（514362）=8。 一般地，求排列的逆序數(shù)的方法如下： 對排列i1i2i3 in，數(shù)出每個數(shù)字it后面比it小的數(shù)字的個數(shù)Nt，t=1，2， ，n-1，則i1i2i3 in的逆序數(shù) 定義1.3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。 例如，1234的逆序數(shù)是偶數(shù)0，是偶排列；4123的逆序數(shù)是奇數(shù)3，是奇排列。 定義1.4 在排列i1 is it in中，如果對調(diào)其中兩個數(shù)字is與it的位置，其他數(shù)字的位置不變，得到一個新排列i1 it is in，稱這樣的變換為對換，記作（is，it）。對換過程記作 如果對調(diào)的兩個數(shù)字的位置是相鄰的，稱這樣的對換為相鄰對換。 例1.2 將排列52134經(jīng)對換變成標(biāo)準(zhǔn)排列12345。 一般地，任何一個n級排列i1i2i3 in都可經(jīng)過一系列這種“歸位”對換：第1位置數(shù)字與1對換，再對新排列中的第2位置數(shù)字與2對換 逐步將數(shù)字k移到第k位置而變成標(biāo)準(zhǔn)排列。 關(guān)于對換與排列奇偶性之間的關(guān)系，有如下性質(zhì)： 性質(zhì)1.1 一次對換改變排列的奇偶性。 證 設(shè)舊排列 isj1 jpit 經(jīng)過一次對換（is，it）變成新排列 itj1 jpis （p=0時表示相鄰對換）。我們來考察兩個排列中數(shù)字之間的序關(guān)系：僅is與it之間和is，it分別與j1， ，jp的每一個之間的序關(guān)系發(fā)生了改變，共2p+1次。設(shè)其中有q1次是由逆序變成不是逆序，有q2次是從不是逆序變成逆序，則 因此，新排列的逆序比舊排列的逆序增加了q2-q1個（當(dāng)q2　　q2-q1=q2+q1-2q1=2（p-q1）+1［q1-q2=q1+q2-2q2=2（p-q2）+1］ 為奇數(shù)，故新舊兩個排列的逆序數(shù)的奇偶性相反，從而對換改變了排列的奇偶性。 練習(xí)1.2 1. 計算下列排列的逆序數(shù)，并判斷排列的奇偶性： （1） 32514； （2） 31524； （3） 135 （2n-1）246 （2n）。 1.3 n階行列式的定義 利用排列的理論，我們可以給出n階行列式的定義如下： 定義1.5 由n2個數(shù)aij（i=1，2， ，n；j=1，2， ，n）排成n行n列的記號 稱為n階行列式。其中aij表示第i行第j列位置上的數(shù)字，稱為第i行第j列元素。 n階行列式表示所有取自不同行、不同列的n個數(shù)的乘積并按照如下方法帶上正號或負(fù)號的代數(shù)和：每項乘積中的n個數(shù)按行號排成標(biāo)準(zhǔn)排列時，其列號排列的奇偶性決定該項的符號，奇排列時為負(fù)號，偶排列時為正號，即 （1.3） 其中，求和取遍所有n級排列j1j2 jn；而（-1）N（j1j2 jn）a1j1a2j2 anjn稱為行列式的一般項。特別地，當(dāng)n=1時，規(guī)定一階行列式|a11|=a11。 行列式有時也簡記作|aij|，其值是一個數(shù)。 當(dāng)n=2，3時，按照定義1。5計算的2，3階行列式的值與前面規(guī)定的2，3階行列式值式（1.1）和 式（1.2）正好吻合一致。其實，n階行列式的定義就是從分析2，3階行列式的共同規(guī)律，由特殊到一般地推廣得到的。 根據(jù)n階行列式的定義計算行列式將要計算n!項，n=4時，4!=24；n=5時，5!=120。如此多項的計算很麻煩，但當(dāng)這些項中很多都等于0，僅有少量的項不等于0，特別僅有1，2項不等于0時，我們只需要把這些不等于0的項計算出來就可以了。 行列式的一般項是取自不同行、不同列的n個數(shù)的乘積的代數(shù)和，故只有當(dāng)這n個數(shù)都不等于0時，該項才不等于0。 例1.3 計算4階行列式 （在行列式中，某些位置數(shù)字0不寫更能反映其分布時，就不寫）。 解 這個行列式按定義計算時第4行只能取a44，從而第3行只能取a33，進(jìn)而第2行只能取a22，*后就知道第1行只能取a11，于是，這個行列式的不等于0的項只能是這4個數(shù)字的乘積，其前顯然帶正號，故原行列式=a11a22a33a44。 行列式中從左上角到右下角的對角線稱為主對角線。主對角線下（上）方數(shù)字全為0的行列式稱為上（下）三角形行列式，統(tǒng)稱為三角形行列式。主對角線以外的數(shù)字全為0的行列式稱為對角形行列式。 仿上例可證：三角形行列式和對角形行列式的值都等于主對角線上的數(shù)字的乘積。 行列式|aij|的一般項還可以寫成 這是因為n個數(shù)ai1j1，ai2j2， ，ainjn是取自不同行不同列的，從而i1i2 in和j1j2 jn分別是行號排列和列號排列。交換乘積ai1j1ai2j2 ainjn中因子數(shù)字之間的次序，相當(dāng)于對兩個排列同時作相同位置上數(shù)字的對換，即對i1i2 in作（is，it）對換時，就對j1j2 jn作（js，jt）對換。 這樣，若經(jīng)過T次對換，將i1i2 in變成了標(biāo)準(zhǔn)排列12 n，則這T次對換相應(yīng)地把j1j2 jn變成了排列k1k2 kn；根據(jù)性質(zhì)1.1，于是有 （-1）N（j1j2 jn）（-1）T=（-1）N（k1k2 kn）。 又由于12 n為偶排列，則T的奇偶性與排列i1i2 in的奇偶性相同，于是有 進(jìn)而 就是行列式的一般項。 于是，我們有如下行列式的等價定義： 定義1.5'定義1.5中的n階行列式|aij|可定義為 這是一個將各項乘積中的n個數(shù)按列號排成標(biāo)準(zhǔn)排列，其行號排列的奇偶性確定該項的符號的定義。 于是，我們有了行列式的如下一種變形：把行列式的行與列互換，即把原來在第i行第j列位置的元素?fù)Q到第j行第i列位置上去，所得到的行列式稱為原來行列式的轉(zhuǎn)置行列式，記D的轉(zhuǎn)置行列式為DT。例如時，有

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