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矩陣論 版權信息
- ISBN：9787030717047
- 條形碼：9787030717047 ; 978-7-03-071704-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
矩陣論 內容簡介
教材的主要內容包括：線性空間與線性變換、子空間、基底、維數(shù)、基底變換及線性變換的矩陣；內積空間與向量范數(shù)、矩陣范數(shù)；矩陣Jordan分解、矩陣級數(shù)、矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣的微積分；矩陣三角分解、UR分解、滿秩分解、奇異值分解與矩陣譜分解；Hermite矩陣、非負矩陣；Moore-Penrose逆；*小二乘方法等核心基礎知識；同時，每章開始給出與本章內容相關的"介紹性實例"及歷史發(fā)展進程，針對相應知識點給出幾何及工程實際應用案例，其中工程實際應用案例主要以不同應用領域的具體問題為驅動，利用相關基本知識進行建模與分析，提供應用矩陣論知識解決實際問題的思想，并對重點問題給出具體MATLAB算例；習題部分設置一定數(shù)量的實際應用問題，可以擴展和加深矩陣論知識的理解與應用。
矩陣論 目錄
目錄
第1章 線性空間 1
1.1 預備知識 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 乘積映射 2
1.1.3 逆映射 2
1.1.4 數(shù)域 3
1.1.5 實矩陣和復矩陣 4
1.2 線性空間的概念 7
1.2.1 線性空間的定義及性質 7
1.2.2 線性相關、基、維數(shù)與坐標 10
1.3 線性子空間 18
1.3.1 線性子空間的概念 18
1.3.2 子空間的交與和 22
1.3.3 線性空間的同構 27
1.4 內積空間 28
1.4.1 內積空間的基本概念與性質 29
1.4.2 內積在基下的矩陣 30
1.5 標準正交基與向量的正交化 32
1.5.1 向量的度量性質 32
1.5.2 標準正交基 34
1.5.3 向量的正交化 34
1.6 正交子空間 36
1.6.1 子空間的正交 36
1.6.2 正交補空間 37
1.6.3 向量到子空間的距離 39
習題1 40
第2章 線性映射與線性變換 44
2.1 線性映射與線性變換的概念 44
2.1.1 線性映射與線性變換的定義及性質 44
2.1.2 線性映射的矩陣刻畫 47
2.1.3 線性映射的核與值域 54
2.2 線性變換的不變子空間 57
2.3 酉（正交）變換與正交投影 59
2.3.1 酉（正交）變換 59
2.3.2 正交投影 61
習題2 62
第3章 方陣的相似標準形 65
3.1 單純矩陣 65
3.1.1 方陣的特征值與特征向量 65
3.1.2 單純矩陣的對角化 68
3.1.3 正規(guī)矩陣及其對角化 73
3.2 Hermite矩陣與Hermite二次型 78
3.2.1 Hermite矩陣和Hermite二次型的概念 78
3.2.2 Hermite矩陣的廣義特征值 87
3.3 λ-矩陣 88
3.3.1 λ-矩陣的定義和初等變換 89
3.3.2 λ-矩陣的行列式因子、不變因子 90
3.3.3 初等因子 95
3.4 方陣的Jordan標準形 97
3.4.1 Jordan標準形的定義 97
3.4.2 Jordan標準形的計算 98
習題3 106
第4章 矩陣分解 109
4.1 矩陣的三角分解 109
4.2 矩陣的滿秩分解 114
4.3 矩陣的UR分解 117
4.4 矩陣的奇異值分解 118
4.5 單純矩陣的譜分解 125
習題4 132
第5章 矩陣函數(shù) 135
5.1 向量范數(shù) 135
5.1.1 向量范數(shù)的概念與性質 135
5.1.2 Cn上的常用范數(shù) 138
5.1.3 向量范數(shù)的等價性1405.2矩陣范數(shù) 142
5.2.1 Cn×n上的矩陣范數(shù) 142
5.2.2 F-范數(shù)的性質 144
5.2.3 矩陣范數(shù)的性質 146
5.3 矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性 147
5.3.1 與已知矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù) 147
5.3.2 由已知向量范數(shù)生成的與其相容的矩陣范數(shù)（算子范數(shù)） 148
5.4 矩陣序列 154
5.4.1 矩陣序列和極限 154
5.4.2 收斂矩陣序列的性質 156
5.5 矩陣冪級數(shù) 163
5.5.1 矩陣級數(shù)的概念 163
5.5.2 矩陣級數(shù)的性質 166
5.5.3 矩陣冪級數(shù) 168
5.6 矩陣多項式 172
5.6.1 矩陣的化零多項式 172
5.6.2 矩陣的*小多項式 175
5.7 矩陣函數(shù)的定義及計算 179
5.7.1 矩陣函數(shù)的冪級數(shù)定義 180
5.7.2 矩陣函數(shù)的計算 183
習題5 191
第6章 矩陣微積分 195
6.1 矩陣的Kronecker積 195
6.1.1 Kronecker積的概念與性質 195
6.1.2 Kronecker積的特征值與特征向量 197
6.2 函數(shù)矩陣的微分 200
6.2.1 函數(shù)矩陣對變量的導數(shù) 201
6.2.2 數(shù)量值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù) 205
6.2.3 矩陣值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù)與微分 208
6.3 函數(shù)矩陣的積分 213
6.3.1 函數(shù)矩陣的連續(xù)性 213
6.3.2 矩陣函數(shù)積分的定義 214
6.4 矩陣微分方程的求解 217
習題6 224
符號索引 226
名詞索引 230
第1章 線性空間 1
1.1 預備知識 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 乘積映射 2
1.1.3 逆映射 2
1.1.4 數(shù)域 3
1.1.5 實矩陣和復矩陣 4
1.2 線性空間的概念 7
1.2.1 線性空間的定義及性質 7
1.2.2 線性相關、基、維數(shù)與坐標 10
1.3 線性子空間 18
1.3.1 線性子空間的概念 18
1.3.2 子空間的交與和 22
1.3.3 線性空間的同構 27
1.4 內積空間 28
1.4.1 內積空間的基本概念與性質 29
1.4.2 內積在基下的矩陣 30
1.5 標準正交基與向量的正交化 32
1.5.1 向量的度量性質 32
1.5.2 標準正交基 34
1.5.3 向量的正交化 34
1.6 正交子空間 36
1.6.1 子空間的正交 36
1.6.2 正交補空間 37
1.6.3 向量到子空間的距離 39
習題1 40
第2章 線性映射與線性變換 44
2.1 線性映射與線性變換的概念 44
2.1.1 線性映射與線性變換的定義及性質 44
2.1.2 線性映射的矩陣刻畫 47
2.1.3 線性映射的核與值域 54
2.2 線性變換的不變子空間 57
2.3 酉（正交）變換與正交投影 59
2.3.1 酉（正交）變換 59
2.3.2 正交投影 61
習題2 62
第3章 方陣的相似標準形 65
3.1 單純矩陣 65
3.1.1 方陣的特征值與特征向量 65
3.1.2 單純矩陣的對角化 68
3.1.3 正規(guī)矩陣及其對角化 73
3.2 Hermite矩陣與Hermite二次型 78
3.2.1 Hermite矩陣和Hermite二次型的概念 78
3.2.2 Hermite矩陣的廣義特征值 87
3.3 λ-矩陣 88
3.3.1 λ-矩陣的定義和初等變換 89
3.3.2 λ-矩陣的行列式因子、不變因子 90
3.3.3 初等因子 95
3.4 方陣的Jordan標準形 97
3.4.1 Jordan標準形的定義 97
3.4.2 Jordan標準形的計算 98
習題3 106
第4章 矩陣分解 109
4.1 矩陣的三角分解 109
4.2 矩陣的滿秩分解 114
4.3 矩陣的UR分解 117
4.4 矩陣的奇異值分解 118
4.5 單純矩陣的譜分解 125
習題4 132
第5章 矩陣函數(shù) 135
5.1 向量范數(shù) 135
5.1.1 向量范數(shù)的概念與性質 135
5.1.2 Cn上的常用范數(shù) 138
5.1.3 向量范數(shù)的等價性1405.2矩陣范數(shù) 142
5.2.1 Cn×n上的矩陣范數(shù) 142
5.2.2 F-范數(shù)的性質 144
5.2.3 矩陣范數(shù)的性質 146
5.3 矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性 147
5.3.1 與已知矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù) 147
5.3.2 由已知向量范數(shù)生成的與其相容的矩陣范數(shù)（算子范數(shù)） 148
5.4 矩陣序列 154
5.4.1 矩陣序列和極限 154
5.4.2 收斂矩陣序列的性質 156
5.5 矩陣冪級數(shù) 163
5.5.1 矩陣級數(shù)的概念 163
5.5.2 矩陣級數(shù)的性質 166
5.5.3 矩陣冪級數(shù) 168
5.6 矩陣多項式 172
5.6.1 矩陣的化零多項式 172
5.6.2 矩陣的*小多項式 175
5.7 矩陣函數(shù)的定義及計算 179
5.7.1 矩陣函數(shù)的冪級數(shù)定義 180
5.7.2 矩陣函數(shù)的計算 183
習題5 191
第6章 矩陣微積分 195
6.1 矩陣的Kronecker積 195
6.1.1 Kronecker積的概念與性質 195
6.1.2 Kronecker積的特征值與特征向量 197
6.2 函數(shù)矩陣的微分 200
6.2.1 函數(shù)矩陣對變量的導數(shù) 201
6.2.2 數(shù)量值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù) 205
6.2.3 矩陣值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù)與微分 208
6.3 函數(shù)矩陣的積分 213
6.3.1 函數(shù)矩陣的連續(xù)性 213
6.3.2 矩陣函數(shù)積分的定義 214
6.4 矩陣微分方程的求解 217
習題6 224
符號索引 226
名詞索引 230
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矩陣論 節(jié)選
第1章線性空間 線性空間是矩陣論*基本的概念之一，它是研究客觀世界中線性問題的重要工具。本章將從線性空間的基本概念入手，給出線性空間的相關理論。 1.1預備知識 1.1.1映射 定義1 設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按對應法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作 其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f（x），即 而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像；集合X稱為映射f的定義域，記作Df，即Df=X；X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域，記作Rf或f（X），即 映射定義中有兩個基本要素:定義域Df=X和對應法則f。定義域表示映射存在的范圍；對應法則是原像與像之間的對應方法，是映射的具體表現(xiàn)。因此，若兩個映射f與g的定義域相同，對應法則也相同，則稱映射f與g相等，記作f=g。一般要證明兩個映射f與g相等，只需證出以下兩點即可。 （1）定義域相同，即Df=D9g； （2）對應法則相同，即對，有f（x）=g（x）。 例1 設A為某大學某班全體學生構成的集合，設每位學生的學號均由一個8位正整數(shù)構成；B為正整數(shù)集合，φ為將學生對應到自己的學號，按照定義，φ就是一個從A到B的映射。 例2 設集合A由兩個紅球和一個黑球構成，即A=f紅1球，紅2球，黑球g，集合B由一個紅筐和一個黑筐構成，即B=f紅筐，黑筐g，f表示將集合A中的球對應到集合B中相同顏色的筐中，按照定義，f就是一個從A到B的映射。 從以上兩個例題中可以看出，例1中兩個不同的學生對應的學號也不同，即不同的原像對應著不同的像，例2中兩個不同的球，紅1球和紅2球對應著B中同一個筐，即有兩個不同的原像對應了同一個像。一般地，若映射f滿足“不同的原像一定對應著不同的像”，則稱f為單射。因此，例1中映射φ為單射，而例2中的映射f不是單射。 例1中集合B中有的8位正整數(shù)由映射φ能夠在集合A中對應原像，還有很多集合B中的正整數(shù)不能在集合A中對應原像。例2中集合B中每個元素，由對應法則f都能在集合A中找到原像，或者說值域充滿了集合B，這樣的映射f稱為滿射。一般地，若映射f:X!Y滿足Rf=Y，則映射f稱為滿射。 既是單射，又是滿射的映射稱為雙射（也稱為一一映射）。 1.1.2乘積映射 設X，U，Y是3個非空集合，有映射與，由映射，對與x對應，再由映射（其中，表示“存在唯一的”）。 綜上，對與x對應，這個對應關系，構成了一個從X到Y的新映射，稱這個新映射為f與g的乘積映射（也稱為g與f的復合映射），記作，即 其中稱為中間元素。 由乘積映射的定義易見，對于兩個映射f與g，當且僅當時，才能作乘積映射fg（g與f才能作復合映射）。當有意義時，不一定有意義，反之，當有意義時，也不一定有意義；當它們都有意義時與也不一定相等，即映射的乘法運算不滿足交換律。 映射的乘積雖然不滿足交換律，但滿足結合律。若f，g與h是3個映射，且運算與均有意義，則有成立。 讀者可以將乘積映射（復合映射）的概念推廣到3個或3個以上映射相乘（復合）。 1.1.3逆映射 設X是非空集合，若映射將集合X中的每個元素映成這個元素本身，則稱映射f為集合X上的單位映射（也稱恒等映射），記作IX。 設X，Y是兩個非空集合，設有映射，若存在映射使且成立，則稱f是可逆映射，且稱g為f的逆映射，記作。 由逆映射的定義易見，若映射將集合X中的元素a映成集合Y中的b，則必定將集合Y中的元素b映成集合X中的a。 定理1 映射可逆的充分必要條件為f是一一映射。 證明略。 1.1.4數(shù)域 定義2 設F是復數(shù)集的非空子集，其中，如果F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是F中的數(shù)，則稱F為數(shù)域。 若數(shù)集P中任意兩個數(shù)作某一運算的結果都仍在P中，我們稱數(shù)集P對這個運算是封閉的，因此數(shù)域的定義也可以理解成:如果數(shù)集P包含0和1，且對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不為0）均封閉，那么數(shù)集P就是一個數(shù)域。 我們常用的數(shù)域有:有理數(shù)域Q、實數(shù)域R、復數(shù)域C。自然數(shù)集N和整數(shù)集Z對除法運算不封閉，不能構成數(shù)域。 例3 證明集合構成數(shù)域。 證明 顯然是復數(shù)集的非空子集，其中。 *后指出數(shù)域的一個重要性質:有理數(shù)域是任何數(shù)域的子集。事實上，設P是一個數(shù)域，由定義，12P，再由P對加法封閉，則1+1=2，2+1=3，均屬于P，即P包含全體自然數(shù)；又由，P對減法封閉，則，即P包含全體整數(shù)；再由任何一個有理數(shù)可以表示成兩個整數(shù)的商及P對除法的封閉性可得，任何有理數(shù)均屬于P，上述結論正確。 1.1.5實矩陣和復矩陣 在大學本科階段的線性代數(shù)課程中，我們學習的矩陣一般是定義在實數(shù)域上的矩陣，本書后面一些章節(jié)中討論的矩陣是定義在復數(shù)域上的矩陣，下面我們來討論實矩陣和復矩陣的一些相同點和差異。 具有如下性質: （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 只有1行的實矩陣，稱為（實）行向量，只有1列的實矩陣，稱為（實）列向量。只有1行的復矩陣，稱為（復）行向量，只有1列的復矩陣，稱為（復）列向量。 對列向量 且滿足以下結論： （1）若A為對稱陣，則仍為對稱陣，當A可逆時，仍為對稱陣。 （1）若A為Hermite陣，則，AT，An仍為Hermite陣，當A可逆時，A-1仍為Hermite陣。 （2）若A，B均為對稱陣，則k1A+k2B仍為對稱陣。其中k1，k2為常數(shù)。 （2）若A，B均為Hermite陣，則k1A+k2B仍為Hermite陣，其中k1，k2為常數(shù)。 （3）任何一個方陣A均可寫成一個對稱陣M和一個反對稱陣N之和，其中 （3）任何一個方陣A均可寫成一個Hermite陣M和一個斜Hermite陣N之和，其中 （4）兩個對稱陣的乘積，不一定是對稱陣。若A，B均為對稱陣，則AB仍對稱的充分必要條件為AB=BA。 （4）兩個Hermite陣的乘積，不一定是Hermite陣。若A，B均為Hermite陣，則AB仍為Hermite陣的充分必要條件為AB=BA。 （5）對稱陣的特征值必為實數(shù)，反對稱陣的特征值為0或純虛數(shù)；對稱陣和反對稱陣的不同特征值對應的特征向量是正交的；對稱陣和反對稱陣必能正交相似于對角陣。 （5）Hermite陣的特征值必為實數(shù)，斜Hermite陣的特征值為0或純虛數(shù)；Hermite陣和斜Hermite陣的不同特征值對應的特征向量是正交的；Hermite陣和斜Hermite陣必能正交相似于對角陣。 若實方陣A滿足ATA=E，則稱A為正交矩陣，簡稱正交陣。 （1）正交陣A必可逆，且A-1=AT； （2）正交陣的行列式為1或-1； （3）若A為正交陣，則A-1，A+，AT，Ak仍為正交陣； （4）兩個正交陣相乘仍為正交陣，相加未必； （5）若A為n階正交陣，X，Y為n維列向量，則 即酉陣乘向量，不改變向量的長度和夾角； （6）正交陣的特征值是模長為1的復數(shù)； （7）A為正交陣，A列向量標準正交，A行向量標準正交。 若復方陣A滿足AHA=E，則稱A為酉矩陣，簡稱酉陣。 （1）酉陣A必可逆，且A-1=AH； （2）酉陣的行列式是模長為1的復數(shù)； （3）若A為酉陣，則A-1，A+，AT，Ak仍為酉陣； （4）兩個酉陣相乘仍為酉陣，相加未必； 即正交陣乘向量，不改變向量的長度和夾角； （5）若A為n階酉陣，X，Y為n維列向量，則 （6）酉陣的特征值是模長為1的復數(shù)； （7）A為酉陣，A列向量標準正交，A行向量標準正交。 設A，B為實方陣，若存在可逆陣P，使得B=PTAP成立，則稱A與B合同，P稱為由A到B的合同變換矩陣。 設A，B為復方陣，若存在可逆陣P，使得B=PHAP成立，則稱A與B合同，P稱為由A到B的合同變換矩陣。 設A，B為實方陣，若存在可逆陣P，使得B=P。1AP成立，則稱A與B相似，P稱為由A到B的相似變換矩陣。 設A，B為復方陣，若存在可逆陣P，使得B=P-1AP成立，則稱A與B相似，P稱為由A到B的相似變換矩陣。 設A，B為實方陣，若存在正交陣P，使得B=P-1AP=PTAP成立，則稱A與B正交相似。正交相似既是相似變換，也是合同變換。 設A，B為復方陣，若存在正交陣P，使得B=P-1AP=PHAP成立，則稱A與B酉相似。酉相似既是相似變換，也是合同變換。 在本科線性代數(shù)課程中，我們一般只對實矩陣討論特征值、特征向量、相似對角化等問題。在本課程中對復方陣也同樣討論以上問題。設A為n階復方陣，X為復n維非零列向量，λ是復數(shù)，若AX=λX成立，則稱λ為矩陣A的特征值，X為矩陣A屬于特征值λ的特征向量。稱λE。。A為矩陣A的特征矩陣，為矩陣A的特征多項式，特征多項式的根就是矩陣A的特征值。復矩陣的特征值與特征向量的性質與計算，與實矩陣相同，這里就不多贅述了。 若方陣A能與對角陣相似，則稱方陣A可對角化，或稱方陣A為單純矩陣。若復方陣A滿足AAH=AHA，則稱A為正規(guī)矩陣。顯然，實矩陣中的對稱陣、
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