��ܰ������ʡн 2024����ُ����� 2024�ЈD�W(w��ng)��Ȉ��
�gӭ���R�ЈD�W(w��ng) Ո | ע��
> >>
��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������

���ߣ�������
�����磺�ƌW����������r�g��2021-05-01
�_���� 16�_ 퓔�(sh��)�� 271
���Σ��̲��N����
�� �D �r:¥57.3(8.3��) ���r  ¥69.0 ��䛺�ɿ������T�r
������Ǖ�����>

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ ���(qu��n)��Ϣ

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ ������ɫ

һ��̎̎������չ��x���ϵĻ��A(ch��)��(sh��)Փ�n�̵Ľ̲�����(sh��)Փ�о��ߵą���������(sh��)�W�ۺ��ߵĔ�(sh��)Փ������

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ ��(n��i)�ݺ���

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ����Ҫ��(n��i)�ݼȰ�������(sh��)��Փ��ͬ����Փ��һ�ε�n��ʣ�෽�����G���D���̡��堖�������B�֔�(sh��)��ԭ���cָ��(sh��)��Ҳ�����M���R�W�������������d��˹�������ؾ��ض������Ї�ʣ�ඨ������׌�·�̖�c���λ�������������(sh��)��ƽ���͡���˹̩��ķ����������������߀���S����߃„����������(sh��)���}��ͬ����(sh��)���}���M���R��������°ͺղ������\���ؔ�(sh��)�������������롢�W�������������m�������A�ֆ��}��3x��1���}��BSD������abc�������������һ�N����ķ�ʽ��ÿ��(ji��)����������ٵ��a���x����@Щ�ز�“(li��n)��������ͨ�^����ӳ˷��������ؔ�(sh��)��ƽ��������(sh��)��Ĭ�Ȟ�˹����(sh��)ָ��(sh��)���E�A�������¸���ͷ������؏V�˰���ϣ�����ص�8���}�ڃ�(n��i)�Ľ�(j��ng)�䔵(sh��)Փ���}�Ͳ������c��ͬ�r���׺�ÿ���¹�(ji��)�������������\��һ���†��}���²��롣����-5��ÿ�����}���Զ��S�a��ʽ朽���ԓ�����}������������x�߲���� �������m�ϔ�(sh��)Փ���I(y��)���о��ߺ͘I(y��)����(sh��)�W�ۺ�����x��Ҳ�m�������ߵ�ԺУ���������о����Ļ��A(ch��)��(sh��)Փ�n�̲̽Ļ򅢿�����

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ Ŀ�

Ŀ�

��: ��(sh��)���҂����`�Įa(ch��n)��

��1�� �������㷨 1

1.1 ��Ȼ��(sh��)�ā�v 1

������(sh��)�c�H�͔�(sh��) 5

1.2 ��Ȼ��(sh��)�ĊW�� 6

�Ƕ�׺��c�W��ʾ�Ԕ�(sh��) 11

1.3 �������㷨 12

÷ɭ�ؔ�(sh��)�c�M���R�ؔ�(sh��) 16

1.4 *����(sh��) 24

���׶�ķ���� 27

1.5 ���g(sh��)�������� 29

ϣ�����ص�8���} 35

���}1 40

��2�� ͬ��ĸ��� 42

2.1 ͬ��ĸ��� 42

��˹�ġ����g(sh��)�о��� 45

2.2 ʣ���ʣ��ϵ 47

����(sh��)[x]�c3x+1���} 51

2.3 �M���R-�W������ 55

�W����(sh��)�͚W���ؔ�(sh��) 61

2.4 ���֔�(sh��)��ѭ�h(hu��n)С��(sh��) 62

Ĭ�Ȟ�˹����(sh��) 65

2.5 �ܴa�W�еđ��� 69

�V�x�W������(sh��) 72

���}2 75

��3�� ͬ��ʽ��Փ 77

3.1 �ؾ��ض��� 77

쳲����������� 80

3.2 �����d���� 84

��˹�ġ����g(sh��)�о��� 90

3.3 �G���D���� 92

���_����˹��(sh��)�M 96

3.4 �R��˹ͬ��ʽ 98

���wͬ��ϵ 103

3.5 �ؔ�(sh��)����?zh��n)?105

�ؔ�(sh��)��ϔ�(sh��)֮� 110

���}3 112

��4�� ƽ��ʣ�� 114

4.1 ����ͬ��ʽ 114

��˹�h(hu��n)�ϵ�����(sh��) 117

4.2 ��׌�·�̖ 120

������(sh��)��ƽ���� 124

4.3 ������� 131

n����(sh��)�c�M���R 133

4.4 �ſɱȷ�̖ 135

���_�R��ꇺͲ��� 139

4.5 �ϔ�(sh��)ģͬ�� 140

��ʮ��߅�����D�� 143

���}4 145

��5�� n��ʣ�� 146

5.1 ָ��(sh��)�Ķ��x 146

�����֔�(sh��) 148

5.2 ԭ���Ĵ����� 150

��͢���� 152

5.3 n��ʣ�� 153

�堖���� 160

5.4 �ϔ�(sh��)ģ������ 164

�G���D��(sh��)�M 165

5.5 ������������ 167

�������ָ��(sh��)�� 171

���}5 174

��6�� ����(sh��)��ģͬ�� 176

6.1 ؐŬ����(sh��)�Ͷ��ʽ 176

��Ĭ��ͬ��ʽ 180

6.2 ��˹̩��ķ���� 182

�E�A���� 186

6.3 ������ͬ��ʽ 190

abc���� 196

6.4 Ī���������ſ˲�˹̹���� 200

������ʽ��ģ��ʽ 207

6.5 һ��{(di��o)�ͺ�ͬ��ʽ 210

���ʽϵ��(sh��)�ǃ� 214

��7�� �ӳ˔�(sh��)Փ 219

7.1 ���A�ֆ��} 219

7.2 ���M���R���� 226

7.3 �W������ 234

7.4 F������(sh��)���} 240

7.5 ��ͬ����(sh��)���} 247

7.6 abcd���� 254

�����īI 265

��� 10000�ԃ�(n��i)�ؔ�(sh��)�� 266


չ�_ȫ��

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ ��(ji��)�x

��1�¡��������㷨 1.1����Ȼ��(sh��)�ā�v ��������еİl(f��)����, *���ϵğo���ǔ�(sh��)�W��Ԋ����. �����f�ԏ�������Ěvʷ, �������@�ɘӖ|��. ����fԊ����Դ���r(n��ng)�������S�յĶ\��, ��ô����Ӌ������ֻ��(sh��)��a(ch��n)���˔�(sh��)�W. �ɴ˿���, ������Դ���������Ҫ. �S���r�g������, ��u�u�������_��������(sh��)����: 1, 2, 3, ��, �@Щ������(sh��)��ȫ�w���Q����Ȼ��(sh��)(natural number, �ЕrҲ����0), �@Ȼ������Ȼ�Ļ������Ȼ�����˼. *��, ��������@Щ�����ؔ���������Ҫ, �˂��ڱ��_ͬһ��(sh��)���IJ�ͬ����r���õ����~Ҳ���M��ͬ. ����, �ڹ�Ӣ�Z��ʹ���^team of horses (��ͬ��܇������ă�ƥ�R), yoke of oxen (��ܗ�ă��^ţ), span of mules (��ֻ�), brace of dogs (һ����), pair of shoes (һ�pЬ)��. ������, ֻʣ��pairһ�~�^�鳣��. ���ڝh�Z, ���~��׃�������S��, �����S��һֱ��������. �ܾ��Ժ�, ��ŏğo��(sh��)���(j��ng)��������`��, ���@�ӵĔ�(sh��)(����2)���鹲ͬ���|(zh��)�������, �@��ζ����Ȼ��(sh��)���Q��. �Œ���, �������x�h��ֹ�ڴ�, Ӣ���܌W���_��(Russell, 1872��1970)ָ��: ���˂��l(f��)�F(xi��n)һ���r�u�̓���֮�g��ij�N��ͬ�Ė|��(��(sh��)��2)�r, ��(sh��)�W���Q����. �������߿���, ��(sh��)�W���Q�����S����һЩ, �����˂��ġ�3ֻ�u������2ֻ�u������5ֻ�u��, 3ö��ʸ����2ö��ʸ����5ö��ʸ, �ȵȡ��г������3 + 2 = 5��֮�r. Ҳ�����f, ���҂�����Ȼ��(sh��)���мӷ��͜p���\���Ժ�, �ǿ��ܱ��_�������x��Ҫ���ώ�ǧ��. ���˂���Ҫ�M�и��V��������Ĕ�(sh��)�ֽ����r, �ͱ�회�Ӌ��(sh��)����ϵ�y(t��ng)��. ������صIJ�ͬ���岻�s��ͬ�ز�ȡ�����·���: �я�1�_ʼ�������B�m(x��)����Ȼ��(sh��)�������(sh��), �������ĽM�ρ���ʾ�����@Щ��(sh��)�ֵĔ�(sh��). �Q��֮, �������Mλ��. �ڲ�ͬ�����ԭʼ������, ʹ���^���Г�(j��)�ɲ�Ļ���(sh��)��2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 16, 20��60��. ��ͬȫ�ŵĹ�ϣ�D�܌W�ҁ���ʿ���(Aristotle, ��Ԫǰ384��ǰ322)����, ���ڡ��^�����(sh��)����������10����ָ�@�����ʌW�Œ���, ʮ�M��*�K���V���ɼ{. ��Ȼ, �Ŵ��ͱȂ��˰l(f��)����60�M���Ա�������, ���鱊����֪�ĕr�g��λ֮�g��һ�N�Q��. �����@�������^�ͱȂ��˵�Ӌ�㷽��, ��������һֻ��Ĵָ�����12���P(gu��n)��(ji��)����һֻ�ֵ�5����ָ. ���ڶ��M��, ���C��(j��)����, �����Ĵ�������ʿ�mԭס��ͷ��ް���ʹ���^, ������ǧ����ǰ�Ї�һ�����϶�����ĵ伮���׽�(j��ng)����, ��������ʮ������������@һ�W��. ������0�ij��F(xi��n)��ӛ̖. 1881����ӡ�Ȱ�ɳ�߸���(��ٰͻ�˹̹)�����ġ��Ϳ�ɳ���ָ塱��, ӛ�d�˹�Ԫǰ��(sh��)�����o�����ǽ̔�(sh��)�W. ������F(xi��n)��������10�M�Ɣ�(sh��), �����Ì��ĵ��c��������. ����9���o, ӡ�����ÈAȦ�����ˌ���. ֮��, 0�Bͬ����9����(sh��)�ֵ�ӛ̖��(j��ng)�������˵ĸ�����f��������, Ȼ���ٴ�׃����������������, �ұ�Ӟ���鰢������(sh��)��. �ȵ�17���o, �‡���(sh��)�W�ҡ��܌W���R�����(Leibniz, 1646��1716)�����l(f��)������Ӌ��˳���݆ʽӋ��C��ǰ, �ѽ���������Ķ��M��. ����0��ʾ��λ, ��1��ʾ��λ, ���е���Ȼ��(sh��)�������@�ɂ���(sh��)��ʾ. ����, 1=1, 2=10, 3=11, 4=100, 5=101, ��. �z������, �R�����δ�܌�����“(li��n)ϵ����. ֱ��20���o���~, ������������������(sh��)�W���T·�Z����(von Neumann, 1903��1957)�ڞ�Ӌ��C�O(sh��)Ӌ�ij�����, ����һϵ����Ҫ����, ���ö��M�ƴ���ʮ�M��, ��Ҳ��˱��u�顰���Ӌ��C֮����. ����������(sh��)b>1, b�M����ͽ���������. ����, ���ؔ�(sh��)p(���xҊ1.3��(ji��)),p�M��(sh��)(p-adic��(sh��))�s���������еĸ���. 1897��, �‡���(sh��)�W�Һ��ɠ�(Hensel, 1861��1941)ͨ�^���^��ֵ�����M�н��, �����픵(sh��)�����g(sh��)��һ�N��ͬ�ڌ���(sh��)ϵ��͔�(sh��)ϵ�ķ����M���˔Uչ. ����, �t, ���������ؔ�(sh��)p, . �������M�Ɣ�(sh��)��, ���м���(sh��)���Ք���. �@�����. ���H���, �҂�߀�����S��ֵ. ����ʽ�ɶ�ͬ����5, �ɵ� ��ʽ���p, ����, ���. ���ڱ�����, �҂�ҪӑՓ������(sh��)��10�M�Ƶ���ʽ���F(xi��n). ��һЩ�|���Ň�, �����^����Ȼ������ȡ����(sh��)��Ҏ(gu��)�ɵĂ���l(f��)�F(xi��n), ����ͱȂ��˺��Ї��˸��԰l(f��)�F(xi��n)��3ƽ����(sh��)�M, ���҂��������Q�Ĺ��ɔ�(sh��)���ϣ�D�����Q�Į��_����˹��(sh��). ���Ї�*��Ĕ�(sh��)�W�伮�������㽛(j��ng)��(������Ԫǰ1���o)��, ӛ�d������**���ʵ��������ĵܵ��ܹ�(��Ԫǰ11���o)�c����̸��P(gu��n)�ڜy����һ�Ό�Ԓ, �����ᵽ ���V��, ������, ������. �������㽛(j��ng)����Ĺ��ɶ�����D �@��ԓ�ǬF(xi��n)��(3, 4, 5)�@�M*С�Ĺ��ɔ�(sh��)���״�ӛ�. �mȻ�F(xi��n)�ؼ~�s�炐�ȁ���W�İͱȂ������������D322̖���vʷ�����ƾ�, ��������*С�Į��_����˹��(sh��)�M�s��(45, 60, 75). �ܹ��ǿ���*�羴����, ���ܶY��������, ��������ˡ���ˇ��, ��(sh��)������֮һ. �ڡ������㽛(j��ng)����, ߀�������ܹ����˘s���c�W�����(�s��Ԫǰ�������o)��һ�Ό�Ԓ: �����ž鹴, �ոߞ��, ���ɸ��Գ�, �����_����֮, ��б����. �˼����ɶ���, �ìF(xi��n)����(sh��)�W�Z�ԁ����_���� ÿһ��ֱ�������εăɗlֱ��߅�L��ƽ���͵���б߅�L��ƽ��. ���^, �����ˌ��˽Y(ji��)Փ�Q�鮅�_����˹����, �����Ѽs���׳���. һ���Ŵ��|�����Ļ��ͿƼ������׺����^, �������_����˹���Ƚo�����C��. ���_����˹(Pythagoras, ��Ԫǰ580��ǰ500)�ǹ�ϣ�D**�����Q����Ĕ�(sh��)�W��, ��������������Ӻ͘s������. ֵ��һ�����, ���_����˹����Ԋ����Z�ԁ����������l(f��)�F(xi��n)��**��������. б߅��ƽ��, ����қ]��Ū�e, ����������߅�� ƽ��֮��. ���_����˹�����ڵ��к��|�˵��_Ħ˹�u(��ϣ�D), ���Κv�����ͰͱȂ�, ������ڿ��_�Ѓ�(n��i)(��������Ϸ�)��(chu��ng)�k��һ��������F, �V�յ���, �γ������^�Į��_����˹�W��, ��Ӱ푾d�Ӻ�����ǧ����. ���_����˹*���J�R���ڿ��^����������Д�(sh��)����Ҫ��, ������ˡ��f��Ԕ�(sh��)���@һ�܌W���}. ���������ĵ��ӂ��P(gu��n)����Ȼ��(sh��)�ķN�N�l(f��)�F(xi��n)����, *����˼�Ŀ���Ҫ��(sh��)������(sh��)���H�͔�(sh��). �S�����������嶼����Ȼ��(sh��)�����ڽ̰�����������, ������(sh��)��������һ��. ���^������(sh��)����ȫ��(sh��)(perfect number)���@�ӵ���Ȼ��(sh��)n, �������������ӵĺ�, ���M�� ��̎��ʾd����n(��Ҋ���x1.1). *С�ăɂ�������(sh��)��6��28, �@����� ���_����˹���S*���о���������(sh��), ���t����Ԫ1���o, ϣ�D����֪����3��������(sh��)496�͵�4��������(sh��)8128. ���_����˹�͹��_�R˼���ʥ�W��˹��(Saint Augustinus, 354��430)���J��6�������oȱ��. �������f�sʥ��(j��ng)���׾�����(chu��ng)���o����Ҳ�ᵽ, �ϵ���6��ĕr�g��(chu��ng)��������(��7������Ϣ��). ���ŵ����f�Ĺ�ϣ�D�˄t�J��, �������@�������D(zhu��n)һȦ����ĕr�g��28��. ��1.3��(ji��)�҂������˽�, һ��ż��(sh��)nҪ�ɞ�������(sh��)���҃H������������ʽ ����p�;����ؔ�(sh��). ���߼�������÷ɭ�ؔ�(sh��), Ҳ�����f, �ж���÷ɭ�ؔ�(sh��), ���ж���ż������(sh��), ��֮��Ȼ. �����ֹ, �˂��Ѱl(f��)�F(xi��n)��51��÷ɭ�ؔ�(sh��), �@Ҳ����֪������(sh��)�Ĕ�(sh��)��. ��һ����, �ț]�����ҵ�����һ����������(sh��)(������ڵ�Ԓ, һ������), Ҳ�]�����܉�����Ĵ���. �@Щʹ��������(sh��)���}�������, �҂�����1.3��(ji��)�o��������Ҫ�l�����C��, ����7.3��(ji��)�M�и��鼚��������о�����չ, ��Ҳ�DZ���*�Ѓrֵ�IJ���֮һ. ���^�H�͔�(sh��)���ѺÔ�(sh��)(amicable number)��ָ�@��һ����(sh��), ���е�����һ������һ����������֮��. �@Ȼ, ������(sh��)�c�����������H�͔�(sh��), ���ͨ���˂�ֻ���]��ͬ�ăɂ���(sh��). ���_����˹�ҵ���*С��һ���H�͔�(sh��)220��284, �@����� ����(chu��ng)���o����Ҳ���ᵽ, �Ÿ��ͽo�\���ֵ��Ԓ�220ֻ��, ��ʾ����֮��. ���˞��H�͔�(sh��)����������ɫ��, ʹ����ħ���g(sh��)��ռ���g(sh��)����õ�����. �W�������o���g, ��������(sh��)�W���������׵������İ��������g������(Thabit, 826��901, ������ع��m, ���������)�J��, ���_����˹������׷�S��֮�����о�������(sh��)���H�͔�(sh��), �Ǟ��˱��_�������܌W�^��. ����߀���Ƚo���˴_���H�͔�(sh��)�ķ���, ��ָ��, ����������(sh��), �������ؔ�(sh��), �t����һ���H�͔�(sh��). ��n=2�r, �������ľ��Ǯ��_����˹�l(f��)�F(xi��n)����һ��. �z������, �������˲��]�����@�N�����ҵ��µ��H�͔�(sh��). ���Œ���, �ЃɌ�ֻ���e��֮��. ֱ��1636��, �ڶ����H�͔�(sh��)(17296, 18416)�����������I(y��)����(sh��)�W��֮�������Q�ķ�����(sh��)�W���M���R(Fermat, 1601��1665)�ҵ�; ͬ��, �M���R��ͬ������(sh��)�W�Ҽ��܌W�ҵѿ���(Descartes,1596��1650)�ҵ��˵�����(9363584, 9437056). �ڴ�֮ǰ, 16���o��˹�m�����һλ��Ҫ�Ĕ�(sh��)�W���������ˁ�Ɲ��(Yazdi)���ҵ��@��. �@�Ɍ��քe���������Ȕ�(sh��)�Mn=4��n=7������. ����1747��, ��ʿ��(sh��)�W�ҚW��(Euler, 1707��1783)�����Լ��ķ���, һ�����ҵ���30�����H�͔�(sh��). ��һ�����ҵ���60����, ����һ��(10744, 10856)���M���R���õ�߀С. �ڶ�С��һ���H�͔�(sh��)��(1184, 1210), �@����1866��, ��һλ16�q��������к���������(Paganini)�l(f��)�F(xi��n)��. �W��߀�����ȵ��H�͔�(sh��)��ʽ�����ƏV, �����������(sh��), �� �����ؔ�(sh��), �t����һ���H�͔�(sh��). ��m=n1�r, �˼������ȹ�ʽ, ���W���Ĺ�ʽֻ�ṩ�˃Ɍ��µ��H�͔�(sh��), ����(m,n)=(1,8)��(29,40)�r. �����ֹ, �˂��ѽ�(j��ng)�l(f��)�F(xi��n)���H�͔�(sh��)�h��������(sh��)Ҫ��, ��1200���f��. ����, �oՓ�H�͔�(sh��)߀��������(sh��), �҂�����֪���Ƿ��Пo�޶���(��). 1955��, ��������(sh��)�W�Ґ۶�ʿ(Erds, 1913��1996)�C��, �H�͔�(sh��)����Ȼ��(sh��)�е��ܶȞ�0. �������H�͔�(sh��)�Пo�޶���, �҂��놖, �H�͔�(sh��)���ɔ�(sh��)֮���Ƿ�څ����1? 1.2����Ȼ��(sh��)�ĊW�� ����Ȼ��(sh��)���g�������o�F�o�M�ĊW��, �@ʹ���о�����(sh��)���|(zh��)�Ĕ�(sh��)�W��֧������(sh��)Փ��M������, �����˹��������Ӌ�䔵(sh��)�Ĕ�(sh��)�W��ź͘I(y��)���ۺ���. ��������(sh��)�W���ӡ����u�ĵ‡���(sh��)�W�Ҹ�˹(Gauss, 1777��1855)��Մ��:���κ�һ�����^һ�c��

��(j��ng)�䔵(sh��)Փ�ĬF(xi��n)������ ���ߺ���

���������㽭�_���ˣ�ɽ�|��W��W��ʿ���㽭��W��(sh��)�W�WԺ��������ʿ��������������Ƹ�W����������(sh��)Փ������������ؔ�(sh��)�ͼӳ˷��̵ĸ��������߱��‡���(sh��)�W�����R�_���׹�����˹��ٝ�顰�ꖷ��̡��������P(gu��n)�A�ֆ��}���о���Ӣ����(sh��)�W�ҡ��Ơ�Ɲ���������m��ؐ��ٝ�顰����ԭ��(chu��ng)�Ե�ؕ�I���� �x�����g����˹��żȻ��߰l(f��)������Ԋ���������ѳ����ČW���W�g(sh��)���ռ�����30�ಿ����Ʒ���g��20��N�Z�������ѳ����������20��N�����С���(sh��)�W���桪����Щ�y���󼰵�����@���ҿƌW���g(sh��)�M����������(sh��)�W��ʷ���@�Ǵ���ԭ��(chu��ng)�������������������ƌW�c����������n�̫@���ҽ̌W�ɹ�����

��Ʒ�uՓ(0�l)
���o�uՓ����
�������]
����픲�
�ЈD�W(w��ng)
�ھ��ͷ�