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高等數(shù)學(xué)(上冊)

出版社：科學(xué)出版社出版時間：2021-08-01
開本： 16開 頁數(shù)： 350
本類榜單：教材銷量榜
中 圖 價:¥35.4(6.0折) 定價  ¥59.0 登錄后可看到會員價
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高等數(shù)學(xué)(上冊) 版權(quán)信息

高等數(shù)學(xué)(上冊) 內(nèi)容簡介

《高等數(shù)學(xué)（上冊）》根據(jù)教育部頒布的本科非數(shù)學(xué)專業(yè)理工類高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求及全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)大綱編寫而成。 《高等數(shù)學(xué)（上冊）》分上、下兩冊《高等數(shù)學(xué)（上冊）》為上冊，內(nèi)容包括極限與連續(xù)、一元函數(shù)微積分學(xué)等內(nèi)容！陡叩葦(shù)學(xué)（上冊）》基本上每節(jié)都配有難易不同的A、B兩組習(xí)題，每章都附有本章小結(jié)與總復(fù)習(xí)題！陡叩葦(shù)學(xué)（上冊）》還配有兩類內(nèi)容豐富的數(shù)字教學(xué)資源。一類是與每節(jié)配套的設(shè)計新穎的課前測、重（難）點(diǎn)講解、電子課件以及習(xí)題參考答案等。另一類為《高等數(shù)學(xué)（上冊）》附錄，包括數(shù)學(xué)歸納法、一些常用的中學(xué)數(shù)學(xué)公式、幾種常用的曲線、積分表、微積分歷史沿革、MATLAB軟件簡介（上）等，讀者可以掃描二維碼反復(fù)學(xué)習(xí)。

高等數(shù)學(xué)(上冊) 目錄

目錄
前言
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.2 數(shù)列的極限 26
1.3 函數(shù)的極限 36
1.4 無窮小量與無窮大量 49
1.5 極限運(yùn)算法則 55
1.6 極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限 66
1.7 無窮小的比較 78
1.8 函數(shù)的連續(xù)性 85
1.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 99
本章小結(jié) 103
總復(fù)習(xí)題1 105
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 107
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 107
2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本公式 119
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 130
2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 137
2.5 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 148
本章小結(jié) 159
總復(fù)習(xí)題2 160
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 163
3.1 微分中值定理 163
3.2 洛必達(dá)法則 174
3.3 泰勒公式 184
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 196
3.5 函數(shù)的極值與*大值、*小值 206
3.6 函數(shù)圖形的描繪 217
3.7 曲率 224
本章小結(jié) 233
總復(fù)習(xí)題3 236
第4章 不定積分 238
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 238
4.2 不定積分的換元積分法 246
4.3 不定積分的分部積分法 258
4.4 簡單有理函數(shù)的積分 265
4.5.積分表的使用 272
本章小結(jié) 274
總復(fù)習(xí)題4 276
第5章 定積分 278
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 278
5.2 微積分基本定理 288
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 296
5.4 反常積分 306
本章小結(jié) 319
總復(fù)習(xí)題5 320
第6章 定積分的應(yīng)用 323
6.1 定積分的微元法 323
6.2 定積分在幾何上的應(yīng)用 325
6.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 341
本章小結(jié) 347
總復(fù)習(xí)題6 348
參考文獻(xiàn) 351
教學(xué)資源說明 352
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高等數(shù)學(xué)(上冊) 節(jié)選

第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(René Descartes)把變量引入數(shù)學(xué)，由此運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，*終形成并發(fā)展了微積分.微積分是人類思維的偉大成果之一，并廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中.高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容是微積分，微積分包含微分學(xué)與積分學(xué)，它以函數(shù)為主要研究對象，主要用極限方法揭示連續(xù)函數(shù)的重要性態(tài). 本章先簡單回顧函數(shù)的概念及有關(guān)性質(zhì)，再著重介紹極限和連續(xù)的基本概念、重要性質(zhì)與思想方法，為學(xué)好微積分打下扎實的基礎(chǔ). 1.1 函數(shù) 一、變量與常用數(shù)集 恩格斯說過:“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”.自然界千變?nèi)f化的事物是自然科學(xué)的研究對象，數(shù)學(xué)是*重要的研究工具，數(shù)學(xué)思維的方法就是把千變?nèi)f化的事物與數(shù)量聯(lián)系起來，在用數(shù)學(xué)方法描述現(xiàn)實生活中的許多自然現(xiàn)象或變化過程時，常需要用多個數(shù)量來表達(dá)其關(guān)系與結(jié)構(gòu)，觀察這些數(shù)量一般可分為兩類:一類是在某過程中保持不變的量，稱為常量;另一類是在某過程中可以取不同的值，或不斷變化著的量，稱為變量.例如在觀察圓的圖形變化時，直徑與周長都是變量，而圓的周長與直徑的比值(圓周率)π是一個常量;又如在自由落體運(yùn)動中，物體的下降速度、下降時間及下降距離都是變量，而物體的質(zhì)量在該過程中可以看作是常量.一般地，用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z，t等表示變量.一個量是變量還是常量，需要在具體問題中作具體分析.例如就小范圍的地區(qū)來說，重力加速度g可以看作是常量，而在宇宙中重力加速度g則是一個變量. 自然界中有兩類常見的變量，一類如自然數(shù)n，每兩個之間均有間隔地變化著的量，我們稱為離散型變量;另一類如實數(shù)x，連續(xù)不間斷地變化著的量，這類變量稱為連續(xù)型變量，本課程是一門以研究連續(xù)型變量為主的數(shù)學(xué)課程. 在討論變量間的數(shù)量關(guān)系時，常須明確變量的取值范圍，單個變量的取值范圍常用數(shù)集來表示.本書討論的變量在沒有特別說明的情況下都是指在實數(shù)范圍內(nèi)變化的量. 常用的數(shù)集有:自然數(shù)集N、正整數(shù)集N+、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R，另外區(qū)間和鄰域也是兩種常用的數(shù)集. 區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集，設(shè)a，b∈R，且a　　數(shù)集稱為開區(qū)間，記作(a，b)，即 類似地，數(shù)集均稱為半開半閉區(qū)間，分別記作[a，b)與(a，b]，即 其中a與b稱為這些區(qū)間的端點(diǎn)，稱為這些區(qū)間的區(qū)間長度.區(qū)間長度是有限的數(shù)值，故以上四種區(qū)間均為有限區(qū)間;此外還有下列五種無限區(qū)間，引進(jìn)記號+∞(讀作正無窮大)及.∞(讀作負(fù)無窮大)，則有這些區(qū)間的區(qū)間長度都為無窮大. 因此連在一起的數(shù)是很方便用區(qū)間表示的，當(dāng)包含端點(diǎn)時，就用方括號表示， 不包含端點(diǎn)時，就把方括號變?yōu)閳A括號.總之以上各種情況可歸納如下: 為了討論函數(shù)在一點(diǎn)鄰近的某些性態(tài)，我們給出鄰域概念. 定義1設(shè)a，δ∈R，δ>0，數(shù)集稱為點(diǎn)a的δ鄰域，記作U(a，δ).其中點(diǎn)a與數(shù)δ分別稱為鄰域的中心與半徑. 幾何上，鄰域U(a，δ)表示數(shù)軸上與點(diǎn)a的距離小于δ的點(diǎn)集，因此該鄰域是以點(diǎn)a為中心，δ為半徑的一個開區(qū)間(如圖1-1-1(a))，即 若不強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑時，用U(a)表示以點(diǎn)a為中心的任意開區(qū)間.有時又需將鄰域U(a，δ)的中心點(diǎn)a去掉，將鄰域U(a，δ)的中心點(diǎn)a去掉后得到的數(shù)集稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作(如圖1-1-1(b))，即 圖1-1-1 二、函數(shù)及有關(guān)概念 1.函數(shù)的定義 函數(shù)研究的就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，也就是把事件量化為用變化的量來表示.在同一自然現(xiàn)象或變化過程中，經(jīng)常會同時遇到兩個或更多個變量，它們互相聯(lián)系、互相依賴并遵循一定的規(guī)律變化著. 例如運(yùn)動學(xué)中，自由落體運(yùn)動的路程s與時間t是兩個變量，設(shè)初速度為0，則當(dāng)時間t變化時，所經(jīng)過的路程s也隨之改變，它們之間的關(guān)系為 (1-1-1) 又如電學(xué)中，在電阻兩端加直流電壓V，電阻中有電流I通過，電壓V改變時，電流I隨之改變，其變化規(guī)律為 若電阻R=2，則 (1-1-2) (1-1-1)，(1-1-2)兩式均表達(dá)了兩個變量之間相互依賴的關(guān)系或規(guī)律，依據(jù)這一規(guī)律，當(dāng)其中一個變量在某一范圍內(nèi)取定一個數(shù)值時，另一變量的值就隨之確定，數(shù)學(xué)上把這種對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系. 定義2設(shè)兩個變量x，y分別在集合X與Y中變化，X為非空集，如果按照一個給定的對應(yīng)規(guī)則，對于每一個x∈X，按照一定的法則f總有**確定的y∈Y與之對應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)，并稱x為自變量，y為因變量，記作 y=f(x)， 其中自變量x的變化范圍X稱為函數(shù)的定義域，常用Df或D表示，即X=D. 由定義2可知，f(x)也表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，因此對應(yīng)于x0的函數(shù)值記為f(x0)或全體函數(shù)值構(gòu)成的集合稱為函數(shù)y=f(x)的值域，記作f(D)，即 一般地，在函數(shù)y=f(x)中，使得式子f(x)有意義的x的集合是該函數(shù)的定義域，這時也稱為該函數(shù)的自然定義域.但在實際問題中，函數(shù)y=f(x)的定義域還要根據(jù)問題中的實際意義來確定. 例如函數(shù)y=x2，使得式子x2有意義的x的集合是實數(shù)集R，因此y=x2的自然定義域為實數(shù)集R，為方便起見，也稱函數(shù)的定義域為實數(shù)集R;但若用函數(shù)y=x2表示邊長為x的正方形面積，則根據(jù)正方形邊長x須為正數(shù)，因此這時函數(shù)y=x2的定義域應(yīng)為D={x|x>0，x∈R}，或用區(qū)間(0，+∞)表示. 函數(shù)y=f(x)就像一臺“數(shù)值變換器”，我們將x(x∈D)的值輸入該變換器中，在規(guī)則f的作用下，即滿足y=f(x)，就將數(shù)值x變換為另一個與其對應(yīng)的數(shù)值y.例如，對函數(shù)表示對實數(shù)集R內(nèi)的數(shù)x作e為底的指數(shù)運(yùn)算，即將x(x∈R)的值輸入該數(shù)值變換器中，通過f的作用，就輸出了數(shù)值y=ex. 由函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=f(x)由其對應(yīng)法則與定義域兩個因素確定，故當(dāng)兩個函數(shù)的對應(yīng)法則與定義域都相同時就稱它們是同一個函數(shù)，因此也稱函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則為函數(shù)的二要素. 例如函數(shù)y=lgx2與y=2lgx，它們的對應(yīng)法則相同，但定義域不同，所以它們不是相同的函數(shù).又如函數(shù)，它們的對應(yīng)法則相同，定義域卻不相同，因此它們也不是相同的函數(shù).而函數(shù)，其對應(yīng)法則與定義域都相同，因此它們就是同一個函數(shù)了. 注 在函數(shù)y=f(x)中，符號f與x，y僅僅是該函數(shù)中對應(yīng)法則、自變量、因變量的記號，因此它們可以用不同的記號表示，如f用符號φ或F代替，這時函數(shù)y=f(x)就寫成y=φ(x)或y=F(x).必須指出當(dāng)同一問題中涉及多個函數(shù)時，則應(yīng)取不同的符號分別表示它們各自的對應(yīng)法則，以免混淆.同樣因變量與自變量也可用其他符號表示，但必須指出同一個函數(shù)在同一個問題中只能取定同一種記法. 設(shè) 函數(shù)y=f(x)，定義域為D，稱平面上的二維點(diǎn)集為函數(shù)y=f(x)，x∈D的圖形，y=f(x)也稱為曲線C的方程，因此函數(shù)y=f(x)的圖形是一條或一段平面曲線.如稱平面上的點(diǎn)集為正弦函數(shù)y=sinx的圖形. 定義2中，函數(shù)y=f(x)的自變量x在定義域內(nèi)任取一值時，對應(yīng)的函數(shù)值y都是**確定的，因此也稱y為x的單值函數(shù).如均為單值函數(shù).但事實上，有時自變量x有兩個或兩個以上的值y與之相對應(yīng)，這時稱y為x的多值函數(shù).若遇到多值函數(shù)時，我們都把它化作多個同時出現(xiàn)的單值函數(shù)分別來對待.如圓的方程x2+y2=4中，將“滿足方程x2+y2=4”作為變量x，y之間的對應(yīng)法則，當(dāng)時，可得，即當(dāng)時，可得兩個值與之對應(yīng)，因此，方程x2+y2=4確定了一個多值函數(shù)，其中是多值函數(shù)的兩個單值分支，它們都由方程x2+y2=4確定.從而方程x2+y2=4確定了兩個單值函數(shù). 本書中凡是沒有特別說明的函數(shù)都是指單值函數(shù). 例1 求函數(shù)的定義域. 解由題意可知，該函數(shù)的自變量x滿足不等式組 解得 且， 故該函數(shù)的定義域為. 例2 設(shè) 解將變量x分別用 代入，得 2.函數(shù)的表示形式 函數(shù)有多種表示形式，常見的主要有:表格法、圖示法、解析法(用代數(shù)式表示法). 表格法是把自變量x與因變量y的一些對應(yīng)值用表格列出，實際應(yīng)用中常用此法.例如火車時刻表，就是用列表的方法列出出站和進(jìn)站對應(yīng)的車次與時間的函數(shù)關(guān)系.其優(yōu)點(diǎn)是從表上可直接看出y隨x的變化而變化的情況，使用上較方便，缺點(diǎn)是只能表達(dá)有限個對應(yīng)數(shù)據(jù). 圖示法是把變量x與y對應(yīng)的有序數(shù)組(x，y)看作直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，y與x的函數(shù)關(guān)系就可用坐標(biāo)面上的曲線來表出.例如氣象站中的溫度記錄器，就記錄了空氣中溫度與時間的函數(shù)關(guān)系.該關(guān)系是借助儀器自動描繪在紙帶上的一條連續(xù)不斷的曲線來表達(dá)的.圖示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀性強(qiáng)，缺點(diǎn)是沒有給出函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式，不便于做理論上的推導(dǎo)與演算. 解析法是把兩個變量之間的關(guān)系直接用代數(shù)式表示，故解析法也可以稱為公式法.高等數(shù)學(xué)中所涉及的函數(shù)大多用解析法來表示，解析法的優(yōu)點(diǎn)是便于做理論上的精準(zhǔn)分析與推演. 下面是幾種常見的用解析法表示的函數(shù)類型. (1)分段函數(shù) 在自然科學(xué)與工程技術(shù)中經(jīng)常用到這樣一類函數(shù)，它在定義域的不同范圍內(nèi)的自變量所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系并不相同，這時就需用幾個不同的式子分別來表示一個函數(shù)，這樣表示的函數(shù)就是分段函數(shù)，如定義域分成兩個不同的范圍時，有如下定義.　

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