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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030346254
- 條形碼：9787030346254 ; 978-7-03-034625-4
- 裝幀：平裝膠訂
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 本書(shū)特色
本教材是編者總結(jié)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合近年來(lái)本科畢業(yè)生面臨就業(yè)困難，導(dǎo)致考研學(xué)生大量增加、碩士研究生逐年擴(kuò)招的社會(huì)形勢(shì)，并針對(duì)由于擴(kuò)招導(dǎo)致的本科生學(xué)習(xí)能力下降的現(xiàn)狀而編寫(xiě)的。本教材按照“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)大綱的要求，在保證基本概念、基本理論與基本方法訓(xùn)練的前提下，注重概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)綜合運(yùn)用能力的培養(yǎng)，注重分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的訓(xùn)練。本教材共10章，每章后的習(xí)題分A型和B型兩類，并提供參考答案。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本教材是編者總結(jié)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合近年來(lái)本科畢業(yè)生面臨就業(yè)困難，導(dǎo)致考研學(xué)生大量增加、碩士研究生逐年擴(kuò)招的社會(huì)形勢(shì)，并針對(duì)由于擴(kuò)招導(dǎo)致的本科生學(xué)習(xí)能力下降的現(xiàn)狀而編寫(xiě)的。本教材按照“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)大綱的要求，在保證基本概念、基本理論與基本方法訓(xùn)練的前提下，注重概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)綜合運(yùn)用能力的培養(yǎng)，注重分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的訓(xùn)練。本教材共10章，每章后的習(xí)題分A型和B型兩類，并提供參考答案。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 目錄
**章 概率論的基本概念 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科．它已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國(guó)防、經(jīng)濟(jì)、金融及工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域．事件及其概率是概率論的兩個(gè)基本概念．本章從隨機(jī)現(xiàn)象著手，給出事件的概念并討論其關(guān)系與運(yùn)算．從概率的古典定義、幾何定義、統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)，建立概率的公理化結(jié)構(gòu)，進(jìn)而給出三個(gè)重要的概率公式——乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式． 節(jié) 隨機(jī)試驗(yàn)樣市空間事件 一、隨機(jī)現(xiàn)象 在自然界與人類社會(huì)中，人們觀察到的現(xiàn)象存在兩種重要類型：一類稱為確定性現(xiàn)象，另一類稱為隨機(jī)現(xiàn)象．確定性現(xiàn)象是在一定條件下必然發(fā)生，即在相同的條件下，其結(jié)果總是確定的一種現(xiàn)象，試驗(yàn)條件不變，其結(jié)果是不變的．例如，重物總是垂直落到地面；在一個(gè)大氣壓下，純凈水加熱到100℃必然會(huì)沸騰； 電荷必相互排斥等．早期的科學(xué)就是研究這一類現(xiàn)象的規(guī)律性，所用的數(shù)學(xué)工具如幾何、代數(shù)、微分方程等是大家所熟悉的． 隨機(jī)現(xiàn)象是指事前不可預(yù)測(cè)的，即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，可能發(fā)生多種不確定結(jié)果的現(xiàn)象；在試驗(yàn)之前，無(wú)法預(yù)測(cè)哪一種結(jié)果發(fā)生．例如拋一枚勻質(zhì)硬幣，可能正面向上，也可能反面向上；新生嬰兒的牲別可能是男或女；向一目標(biāo)靶射擊，各次彈著點(diǎn)不盡相同等，這些現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象． 隨機(jī)現(xiàn)象從表面看似乎無(wú)規(guī)律可循，就個(gè)別試驗(yàn)來(lái)看，無(wú)法預(yù)知其確切結(jié)果．但人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐和研究，發(fā)現(xiàn)這一類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，其結(jié)果呈現(xiàn)一種規(guī)律性．例如，多次重復(fù)拋一枚勻質(zhì)硬幣，出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)幾乎各占一半；向一目標(biāo)射擊，彈著點(diǎn)按一定的規(guī)律分布等．這種通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)和觀察呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是從數(shù)量角度研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科. 二、隨機(jī)試驗(yàn)與事件 要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為試驗(yàn)． 在概率論中，所研究的試驗(yàn)有以下特征： (1)可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； (2)可觀察性：每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； (3)不確定性：進(jìn)行每次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)． 我們稱具有上述三個(gè)特征的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，通常用字母E表示． 例1.1 拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況． 例1.2 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，結(jié)果可能是1點(diǎn)，2點(diǎn)， ，6點(diǎn)中的一個(gè)． 例1.3 記錄某電話交換臺(tái)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)．為數(shù)學(xué)上的方便起見(jiàn)，認(rèn)為呼叫次數(shù)沒(méi)有上限，則可能的呼叫次數(shù)為O，1，2， ． 例1.4 在一個(gè)均勻陀螺的圓周上，均勻刻上區(qū)間[0，1）的數(shù)字．旋轉(zhuǎn)這個(gè)陀螺，當(dāng)它停下時(shí)，把圓周與桌面接觸點(diǎn)處的刻度記錄下來(lái)，每次所記錄的刻度是區(qū)間[0，1)上的一個(gè)數(shù)． 例1.5 測(cè)量人的身高，一般來(lái)說(shuō)，人的身高是區(qū)間(0，3)(單位：m)中的一個(gè)實(shí)數(shù)． 進(jìn)行一次試驗(yàn)會(huì)觀察到多種不同的可能結(jié)果，試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果一般稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，用大寫(xiě)英文字母A，B，C， 表示． 我們把不可能再分的事件稱為基本事件．如例1.1中“出現(xiàn)正面”，例1.2中“出現(xiàn)1點(diǎn)”、。出現(xiàn)2點(diǎn)”等都是基本事件．曲若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件，例1.2中“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是復(fù)合事件，它是由“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)3點(diǎn)”、“出現(xiàn)5點(diǎn)”三個(gè)基本事件組合而成，一個(gè)事件是否為基本事件是相對(duì)于試驗(yàn)?zāi)康膩?lái)說(shuō)的. 在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件稱為必然事件，必然事件用S表示，必然不發(fā)生的事件稱為不可能事件，不可能事件用乃表示．例1.2中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于0”是必然事件，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件．必然事件與不可能事件已經(jīng)失去不確定性，也就是說(shuō)它們不是隨機(jī)事件，但為了以后討論方便，我們把它們當(dāng)作特殊的事件． 三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算 在實(shí)際問(wèn)題中，往往要研究一個(gè)試驗(yàn)中不同事件間的聯(lián)系． 1．子事件若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件A是事件B的子事件，記作AcB或.如例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于5”，則AcB.為方便起見(jiàn)，規(guī)定對(duì)任一事件A，有夠cA，AcS. 2．相等若ACB且BcA，則稱事件A與事件B相等，記作A=B. 3．和事件“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記為AUB.如例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B表示“出覡的點(diǎn)數(shù)大于等于5”，則AUB表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，或大于等于5”，即“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1，3，5，6之一”． 4．積事件“事件A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記為A nB或AB.如例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于等于5”，則AnB表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，且大于等于5”，即“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為5”， 和事件與積事件可以推廣到有限多個(gè)事件的情形，即 有時(shí)還需要考慮到可列無(wú)限多個(gè)事件，需要把和事件與積事件推廣到可列無(wú)限多個(gè)的情形，即 5．差事件“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件稱為事件A與B的差事件，記作A-B.如例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于等于5”，則A-B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，且不能大于等于5”，即“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或3”． 6．互不相容事件若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=萬(wàn)，則稱事件A與B是互不相容的（互斥的）．如例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1”，B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2”，則事件A與B是互不相容的． 7．逆事件事件S-A稱為事件A的逆事件，記為萬(wàn)．如在例1.2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則事件B是事件A的逆事件，即有B=A. 8. 劃分如果事件Ai，A2， ，A。滿足如下條件： (1) (2) (A1，A2， ，A這72個(gè)事件是兩兩互不相容的)，則稱A1，A2， ，A為S的一個(gè)劃分（或稱A1，A2， ，A為S的一個(gè)完備事件組）． 可以驗(yàn)證一般事件的運(yùn)算滿足下述運(yùn)算規(guī)律： (1)交換律： (2)結(jié)合律： (3)分配律： (4)德摩根(DeMorgan)律： 對(duì)有限或可列無(wú)限多個(gè)事件A，恒有 四、樣本空間事件的集合表示 為了使概率論建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)上，下面從集合論的角度來(lái)描述事件，這樣 直觀且易于理解， 對(duì)一個(gè)試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件，用只含一個(gè)元素的單點(diǎn)集{8）表示，由若干個(gè)基本事件組成的復(fù)合事件，用包含若干個(gè)元素的集合表示，由所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素組成的集合稱為樣本空間（或基本空間），用S表示，每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)的元素稱為樣本空間的樣本點(diǎn)．顯然，基本事件對(duì)應(yīng)的單點(diǎn)集和復(fù)合事件所對(duì)應(yīng)的集合都是樣本空間S的子集合． 為了表述方便，可以用適當(dāng)?shù)姆?hào)或數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果，用這些符號(hào)或數(shù)字組成的集合表示樣本空間．例如，在例1.1中，樣本空間為S=(H，T）；在例1.2中，若用數(shù)字“i”表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”(i=1，2，3，4，5，6)，則S={l，2，3，4，5，6）便是由所有結(jié)果構(gòu)成的樣本空間；在例1.4中，以數(shù)字z表示“陀螺圓周與桌面接觸點(diǎn)的刻度”，則區(qū)間S=[0，1）便是樣本空間， 一般地，稱樣本空間S的子集A為事件，在隨機(jī)試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生， 事件可以用樣本空間的子集來(lái)表示，將事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合間的關(guān)系及運(yùn)算進(jìn)行比較，可以看出事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合間的關(guān)系及運(yùn)算是一致的．我們把兩者間的關(guān)系及運(yùn)算列于表1-1． 表1-1 以平面上的一矩形區(qū)域表示樣本空間，矩形內(nèi)的每一點(diǎn)表示樣本點(diǎn)，用兩個(gè)小圓形表示上述事件A與B，陰影部分表示事件A與B的各種關(guān)系及運(yùn)算，見(jiàn)圖1 -1． 第二節(jié) 事件的市既率 研究試驗(yàn)不僅要知道它可能出現(xiàn)哪些事件， 重要的是要研究事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是找到一個(gè)合適的數(shù)量指標(biāo)來(lái)表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大。@個(gè)數(shù)量指標(biāo)至少應(yīng)滿足兩個(gè)要求： (1)它應(yīng)具有一定的客觀性，不能隨意改變，并且理論上可通過(guò)在相同條件下大量重復(fù)試驗(yàn)予以檢驗(yàn)． (2)它要符合實(shí)際，事件發(fā)生可能性大的，對(duì)應(yīng)值就大；事件發(fā)生可能性小的，對(duì)應(yīng)值就。槐厝皇录䦟(duì)應(yīng)的值 ，不可能事件對(duì)應(yīng)的值 小，等于0． 我們把表征事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱為事件的概率，事件A的概率以P(A)表示． 在概率論的發(fā)展 ，人們?cè)槍?duì)不同的問(wèn)題，從不同的角度給出了定義概率和計(jì)算概率的各種方法．我們將從這些概率模型著手，給出概率定義的公理化方法． 一、古典概型 我們稱具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕誓Ｐ停? (1)基本事件總數(shù)為有限個(gè)； (2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性大小相同． 古典概率模型簡(jiǎn)稱古典概型，又稱等可能概型．它是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象，也是實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的一種概率模型． 下面我們討論古典概型中事件概率的計(jì)算公式． 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為S= （e1，e2， ，e3)．試驗(yàn)中每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，則對(duì)任意一個(gè)事件A，定義其概率P(A)為 (2.1) (2.1)式定義的概率稱為古典概率， 例2.1 擲一顆勻質(zhì)骰子，設(shè)A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，求P(A)． 解樣本空間S={1，2，3，4，5，6），而A=（1，3，5），S中包含有限個(gè)元素，且每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相同，故 例2.2 一個(gè)口袋中裝有10只球，其中6只紅球，4只白球，從袋中取球兩次，每次一只，取球方式有兩種： (1) 次取一只，觀察顏色后放回，然后再取下一只，這種取球方式稱為放回抽樣； (2) 次取一只不放回袋中，再?gòu)挠嘞碌那蛑腥〉诙，這種取球方式稱為不放回抽樣，試就兩種方式分別求取到兩只球都是紅球的概率． 解 設(shè)A表示“取到的兩只球都是紅球”． (1)放回抽樣 因?yàn)槭欠呕爻闃，每次都是?0只球中取一只球，所以所有可能取法有102種，即樣本空間的基本事件數(shù)為. 袋中紅球有6只，取到兩只球都是紅球的取法有62種，即A包含的基本事件數(shù)為忌=62.按古典概率計(jì)算 (2)不放回抽樣 由于是不放回抽樣，因此 次從10只球中抽取一只球，而第二次只能從剩下的9只球中抽取一只，故所有可能取法有10×9=90種，即樣本空間的基本事件數(shù)為n=90． 同理，可求得A包含的基本事件數(shù)為k-6×5=30. 所以，不放回抽樣時(shí) 一般情況下，放回抽樣與不放回抽樣計(jì)算的概率是不同的．當(dāng)抽取的個(gè)體數(shù)量很大時(shí)，放回抽樣與不放回抽樣計(jì)算的概率差別很。绫纠，當(dāng)球的總數(shù)為100只，其中紅球60只，白球40只時(shí)，計(jì)算出事件A的概率分別為0.360和0.358.所以實(shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽樣對(duì)象數(shù)量較大時(shí)的不放回抽樣，當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理，這樣計(jì)算概率較簡(jiǎn)單． 例2.3 設(shè)有k(k≤365)個(gè)人，且每個(gè)人的生日在一年（以365天計(jì)算）中的每 都是等可能的，求他們生日各不相同的概率． 解 基本事件總數(shù)為3656，所求事件包含基本事件數(shù)為365×364× ×（365-k+l），故所求概率為 例2.4 設(shè)有N件產(chǎn)品，其中N1件一等品，N2件二等品，N3件三等品，N1+N2 +N3 =N.從中任取n件，問(wèn)其中恰有n1件一等品，n件二等品，三等品的概率是多少？ 解 從N件產(chǎn)品中任取n件共有n種取法，n件中恰有n件一等品，n2件二等品
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