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復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

出版社：清華大學(xué)出版社出版時(shí)間：2019-09-01
開本： 其他 頁數(shù)： 181
本類榜單：教材銷量榜
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復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 版權(quán)信息

  • ISBN：9787302535171
  • 條形碼：9787302535171 ; 978-7-302-53517-1
  • 裝幀：平裝
  • 冊(cè)數(shù)：暫無
  • 重量：暫無
  • 所屬分類：>

復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 本書特色

本書基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的思想性針對(duì)高中復(fù)數(shù)與三角內(nèi)容為中學(xué)教師和大學(xué)師范生以及數(shù)學(xué)教育研究生提供了建設(shè)性意見。對(duì)復(fù)數(shù)與三角的歷史做了一番梳理，本著尊重歷史與突出數(shù)學(xué)思想的原則設(shè)計(jì)了大量案例，其設(shè)計(jì)源于教材又不拘泥于教材。 本書有別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理論書籍，作者融數(shù)十年數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)于數(shù)學(xué)教育研究中，提出了一些新穎的見解，直接面向一線教學(xué)提出具體的教學(xué)建議，不失為一本具有重要指導(dǎo)意義的一線教師教學(xué)參考書。 本書適合大學(xué)師范生作為教法教材或參考書，也可以作為中學(xué)一線教師的培訓(xùn)用書或教學(xué)指導(dǎo)用書及中學(xué)生的參考讀物，還可以作為數(shù)學(xué)教育研究工作者的參考書。

復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 內(nèi)容簡(jiǎn)介

本書基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的思想性針對(duì)高中復(fù)數(shù)與三角內(nèi)容為中學(xué)教師和大學(xué)師范生以及數(shù)學(xué)教育研究生提供了建設(shè)性意見。對(duì)復(fù)數(shù)與三角的歷史做了一番梳理，本著尊重歷史與突出數(shù)學(xué)思想的原則設(shè)計(jì)了大量案例，其設(shè)計(jì)源于教材又不拘泥于教材。 本書有別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理論書籍，作者融數(shù)十年數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)于數(shù)學(xué)教育研究中，提出了一些新穎的見解，直接面向一線教學(xué)提出具體的教學(xué)建議，不失為一本具有重要指導(dǎo)意義的一線教師教學(xué)參考書。 本書適合大學(xué)師范生作為教法教材或參考書，也可以作為中學(xué)一線教師的培訓(xùn)用書或教學(xué)指導(dǎo)用書及中學(xué)生的參考讀物，還可以作為數(shù)學(xué)教育研究工作者的參考書。

復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 目錄

第1章 復(fù)數(shù)與三角函數(shù)簡(jiǎn)史
1．1 復(fù)數(shù)簡(jiǎn)史
1．1．1 怪物的出現(xiàn)
1．1．2 虛數(shù)的萌芽
1．1．3 幾何與物理的發(fā)現(xiàn)
1．1．4 如果沒有復(fù)數(shù)，物理學(xué)將如何發(fā)展
1．2 三角函數(shù)簡(jiǎn)史
1．2．1 三角學(xué)簡(jiǎn)史
1．2．2 三角函數(shù)所蘊(yùn)藏的深刻思想
1．2．3 從三角函數(shù)到傅里葉分析
1．2．4 歐拉公式

第2章 復(fù)數(shù)教學(xué)
2．1 復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)析
2．1．1 復(fù)數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀
2．1．2 復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容的解讀與分析
2．2 復(fù)數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)
2．2．1 復(fù)數(shù)教學(xué)策略
2．2．2 "數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念"教學(xué)案例設(shè)計(jì)

第3章 三角函數(shù)數(shù)學(xué)
3．1 三角函數(shù)教學(xué)策略
3．1．1 角度制與弧度制
3．1．2 三角函數(shù)教學(xué)策略
3．2 任意角、弧度制及三角函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)
3．2．1 任意角與弧度制教學(xué)案例設(shè)計(jì)
3．2．2 再論銳角三角比
3．2．3 銳角三角函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)
3．2．4 任意角三角函數(shù)的課堂教學(xué)重構(gòu)
3．2．5 任意角三角函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

第4章 三角公式
4．1 為什么要研究三角公式
4．1．1 三角公式可有可無嗎
4．1．2 向量空間與內(nèi)積空間
4．1．3 再談三角公式
4．2 三角公式教學(xué)案例設(shè)計(jì)
……

第5章 解三角形
第6章 復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的應(yīng)用

附錄 復(fù)數(shù)與三角部分考試題收錄
參考文獻(xiàn)
索引

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復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 節(jié)選

第1章復(fù)數(shù)與三角函數(shù)簡(jiǎn)史 1.1復(fù) 數(shù) 簡(jiǎn) 史 1.1.1怪物的出現(xiàn) 古希臘的畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，公元前580—前500)認(rèn)為： “宇宙一切事物的度量都可用整數(shù)或整數(shù)的比來表示，除此之外，就再?zèng)]有什么了。”他的觀點(diǎn)被他的學(xué)生希帕索斯(Hippasus，約公元前530—前500年，生卒年不詳)徹底顛覆了，希帕索斯利用畢達(dá)哥拉斯證明的勾股定理(西方稱其為畢達(dá)哥拉斯定理，當(dāng)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后，其學(xué)派內(nèi)外異常興奮，宰了100頭牛以祭祀繆斯女神，故也稱為百牛定理)證明了單位正方形的對(duì)角線長度就不是畢達(dá)哥拉斯所說的整數(shù)或整數(shù)的比，后人稱之為根號(hào)2。這一發(fā)現(xiàn)不僅令畢達(dá)哥拉斯難堪，也讓希帕索斯為此命喪大海，這就是歷史上著名的**次數(shù)學(xué)危機(jī)。根號(hào)2 的出現(xiàn)，不僅讓人類認(rèn)識(shí)了一類新的數(shù)——無理數(shù)，也使數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的里程碑。盡管人們無法否認(rèn)無理數(shù)的存在，不過無理數(shù)的陰影籠罩著數(shù)學(xué)界達(dá)2000年之久。 16世紀(jì)中葉，當(dāng)歐洲人還沒有完全理解負(fù)數(shù)、無理數(shù)時(shí)，數(shù)學(xué)上又出現(xiàn)了一個(gè)“怪物”，這就是復(fù)數(shù)。實(shí)際上，早在公元1世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家海倫(Heron of Alexandria，公元62年左右，生卒年不詳)在解決平頂金字塔不可能問題的時(shí)候就提到過負(fù)數(shù)方根，這是關(guān)于復(fù)數(shù)*早的文獻(xiàn)記載。但復(fù)數(shù)真正引起關(guān)注并讓大家感到迷惑則是源于卡爾達(dá)諾(Girolamo Cardano，1501—1576)的三次方程求根公式，那個(gè)時(shí)候大家并不認(rèn)為復(fù)數(shù)是個(gè)實(shí)實(shí)在在存在的東西，然而一些具有實(shí)根的三次方程用卡爾達(dá)諾的求根公式求解時(shí)卻出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的平方根。例如方程x3=15x+4有三個(gè)實(shí)根4，-2+3，-2-3，但把p=15，q=4代入卡爾達(dá)諾公式 1.1復(fù)數(shù)簡(jiǎn)史 第1章復(fù)數(shù)與三角函數(shù)簡(jiǎn)史 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33 時(shí)，平方根內(nèi)部出現(xiàn)了負(fù)數(shù)q22-p33=-121＜0，用這個(gè)公式并不能得到上面的三個(gè)實(shí)根，而是下面這個(gè)莫名其妙的“怪物”： x=22+-121+32--121。 卡爾達(dá)諾的確也考慮過二次方程問題，他在《重要的藝術(shù)》(1545)一書中提出了一個(gè)問題： 把10分成兩部分，使其乘積為40。它等價(jià)于求解二次方程x(10-x)=40，這個(gè)方程的根是5--15 和5+-15，卡爾達(dá)諾聲稱： “不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，”把5--15 和5+-15相乘，可得25-(-15)=40。接著他評(píng)價(jià)道： “算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說，是既精致又不中用的！狈▏鴶(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes,1596—1650)不承認(rèn)復(fù)根，他造出了“虛數(shù)”(imaginary number)的概念。那時(shí)人們對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)可以用萊布尼茨(Leibniz,1646—1716)的話來概括： “圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的祥兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱之為虛的-1的平方根。”在復(fù)數(shù)找到它的幾何與物理背景之前雖然常被大家提及，但并沒有引起足夠的重視，在經(jīng)歷了200年數(shù)學(xué)與自然科學(xué)漫長的發(fā)展之后，人們發(fā)現(xiàn)了它的幾何與物理背景，這才使得復(fù)數(shù)廣為大家認(rèn)同，成為數(shù)學(xué)的重要概念，隨之發(fā)展起來的復(fù)變函數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)、物理學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。 1.1.2虛數(shù)的萌芽 如前所述，復(fù)數(shù)由萌芽直到*終為人們普遍接受經(jīng)歷了相當(dāng)長的時(shí)間？栠_(dá)諾、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家們大概沒有料想到復(fù)數(shù)特別是復(fù)變函數(shù)理論如今已是一個(gè)內(nèi)容十分豐富并在數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮了舉足輕重影響的重要理論。 虛數(shù)概念誕生于“荒謬的矛盾”中，帶著“虛無縹緲”的色彩。虛數(shù)概念*早的確源于高次方程的求解。眾所周知，代數(shù)方程的求解一直是古代數(shù)學(xué)的核心問題之一。人們很早就懂得二次方程的配方法，從而發(fā)明了求根公式。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus,200—284)在求解一元二次方程過程中就曾遇到過負(fù)數(shù)開平方的情形。關(guān)于負(fù)數(shù)的平方根，在16世紀(jì)之前就常常會(huì)遇到，但由于它缺少實(shí)際背景，數(shù)學(xué)家們均認(rèn)為這類方程沒有意義。 虛數(shù)再次出現(xiàn)于1545年，如前所述，在意大利文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在《重要的藝術(shù)》一書中提到一個(gè)后來常被引用的問題： 將10分成兩部分，使它們的乘積等于40。 卡爾達(dá)諾運(yùn)用增量法求解方程組： x+y=10， xy=40。 設(shè)x=5+t，y=5-t即10=(5+t)+(5-t)，于是 （5+t）(5-t)=40, 52-t2=40, t2=52-40， t2=-15。 卡爾達(dá)諾比前人走多了一步，他進(jìn)一步“形式化地”得出所謂的： t=-15，即x=5+-15, y=5--15。 進(jìn)而運(yùn)用算術(shù)的平方差公式的“形式化運(yùn)算”進(jìn)行驗(yàn)算，得 （5+-15）（5--15）=25-（-15）=40。 卡爾達(dá)諾在書中指出這很“矯揉造作”，但卻能自圓其說。 卡爾達(dá)諾突破傳統(tǒng)地承認(rèn)5+-15和5--15這種數(shù)，并將它們用于算術(shù)運(yùn)算，而且發(fā)現(xiàn)： 過程很“虛幻”但結(jié)果又不矛盾。 在《重要的藝術(shù)》中卡爾達(dá)諾進(jìn)一步系統(tǒng)地討論了高次方程求解的相關(guān)問題，包括三次、四次代數(shù)方程的公式解。數(shù)學(xué)史上三次方程一般解法的優(yōu)先歸屬權(quán)本屬于塔爾塔利亞(Tartaglia，1499—1557，意大利)，雖然卡爾達(dá)諾在書中也作了解法來源的說明，但由于《重要的藝術(shù)》的影響力，三次方程的求根公式*終還是被冠以“卡爾達(dá)諾公式” 或“卡當(dāng)(或卡丹)公式”流傳開來。 按照歐洲人的習(xí)慣，那時(shí)的方程只有正系數(shù)項(xiàng)，在《重要的藝術(shù)》中卡爾達(dá)諾將各種含二次項(xiàng)的三次方程轉(zhuǎn)化為下列4種不含二次項(xiàng)的方程： x3=px+q,x3+px=q,x3+px+q=0, x3+q=px(其中p,q均為正數(shù))。 《重要的藝術(shù)》還對(duì)每種方程解的正確性分別給出了幾何上的直觀證明。探討過程并非一帆風(fēng)順，卡爾達(dá)諾、塔爾塔利亞和此后的另一位意大利數(shù)學(xué)家邦貝利(R.Bombeli,1526—1572)都曾討論了三次方程求解的一個(gè)不能合理解釋的疑難點(diǎn)，即三次方程的3個(gè)根是不同的實(shí)數(shù)，但此時(shí)方程的求根公式中卻出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的平方根，稱之為“不可約”。 邦貝利通過觀察和試算發(fā)現(xiàn)，三次方程x3=15x+4有3個(gè)根4，-2+3，-2-3，這3個(gè)根都是實(shí)數(shù)。 另一方面邦貝利套用卡爾達(dá)諾公式卻得到了令人困惑的不同結(jié)果。邦貝利考察了方程： x3=px+q(其中p,q均為正數(shù))。 設(shè)x=3u+3v(分離變量法)，于是 (3u+3v)3=p(3u+3v)+q, u+v+33u3v(3u+3v)=q+p(3u+3v)， 從而 u+v=q, 33u3v=p,即u+v=q, uv=p33。 u和v是一元二次方程y2-qy+p33=0的根，即 u，v=q2±q22-p33。 于是得到方程x3=px+q的一個(gè)正根 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33。 對(duì)于三次方程x3=15x+4，即取p=15，q=4，于是出現(xiàn)了 “不可約”情形，即q2-p33=-121＜0，求解公式中的被開平方數(shù)是負(fù)數(shù)，并非前面所說的3個(gè)實(shí)數(shù)根中的任何一個(gè)，而是一個(gè)不明的“怪物” x=32+-121+32--121。 相比卡爾達(dá)諾和塔爾塔利亞，邦貝利又向前多邁了一步，他猜想既然2+-121和2--121只相差一個(gè)符號(hào)，那么它們的三次方根也應(yīng)該只相差一個(gè)符號(hào)。于是他假設(shè) 32+-121=a+-b，32--121=a--b, 由此解出： a=2和b=1，于是得 x=32+-121+32--121=(2+-1)+(2--1)=4。 聰明的邦貝利利用兩個(gè)“怪物”-121和-1解決了兩種解法所得不同結(jié)果之間不和諧的矛盾，使得這個(gè)“怪物”多少有了一點(diǎn)存在的理由。笛卡兒將這個(gè)“怪物”命名為“虛數(shù)”(imaginary number)，-1稱為虛數(shù)單位，記為i，即i2=-1。 邦貝利創(chuàng)造了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并使用了與實(shí)數(shù)類似的算術(shù)運(yùn)算法則。

復(fù)數(shù)與三角卷:問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 作者簡(jiǎn)介

　　曹廣福，男，1960年出生，江蘇海安人，博士，博士后，教授，博士生導(dǎo)師。主要從事數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育工作，在國內(nèi)外重要刊物上公開發(fā)表研究論文100余篇，連續(xù)主持了六項(xiàng)國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，三項(xiàng)教育部高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)（博導(dǎo)類）基金項(xiàng)目，2003年獲得首屆國家高等學(xué)校教學(xué)名師獎(jiǎng)，2016年入選國家“萬人計(jì)劃”領(lǐng)軍人才。長期關(guān)注基礎(chǔ)教育，以講座、同課異構(gòu)等形式經(jīng)常與中學(xué)師生交流，發(fā)表了一系列關(guān)于基礎(chǔ)教育的研究論文，是廣州市教育名家工作室負(fù)責(zé)人，多次獲得省級(jí)、國家教學(xué)成果獎(jiǎng)！　　　”R建川，男，1966年出生，廣東揭陽人，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽組織委員會(huì)委員，廣東省高師數(shù)學(xué)教育研究會(huì)副秘書長，廣東省中小學(xué)教師繼續(xù)教育專家委員會(huì)委員及廣東省中小學(xué)教師繼續(xù)教育學(xué)科指導(dǎo)小組成員。研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論，在國內(nèi)重要刊物上發(fā)表研究論文10余篇，作為主要參與人獲得國家基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。　　　　沈威，男，1982年出生，安徽靈璧人，博士，副教授。主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)教育研究工作，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論，在國內(nèi)重要刊物上發(fā)表研究論文30余篇，部分論文被《人大復(fù)印資料》全文轉(zhuǎn)載，主持廣東省教育廳等教育科研項(xiàng)目、教學(xué)研究與教學(xué)改革項(xiàng)目多項(xiàng)。

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