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吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義

作者：吳軍
出版社：新星出版社出版時(shí)間：2021-01-01
開(kāi)本： 32開(kāi) 頁(yè)數(shù)： 530
讀者評(píng)分：5分1條評(píng)論
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吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 版權(quán)信息

吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 本書(shū)特色

——羅振宇得到App創(chuàng)始人 通識(shí)教育的重要性一直被人們所忽略，實(shí)際上，想要達(dá)到精英水準(zhǔn)，單靠一個(gè)個(gè)的專(zhuān)業(yè)化技能是不夠的。綜合素養(yǎng)的培育必不可少。 在通識(shí)教育中，數(shù)學(xué)素以高深著稱(chēng)，讓文科生都能讀懂微積分極不容易，而《吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義》做到了這一點(diǎn)。為什么一個(gè)學(xué)理工的人能做到這一點(diǎn)呢？答案就在《吳軍閱讀與寫(xiě)作講義》中。 ——?jiǎng)?rùn)知名商業(yè)顧問(wèn)，潤(rùn)米咨詢(xún)創(chuàng)始人，得到App50萬(wàn)學(xué)員專(zhuān)欄作者 這個(gè)世界的*底層規(guī)律，都是建立在數(shù)學(xué)的根基上。但是，很多人考大學(xué)時(shí)，只要能不再學(xué)數(shù)學(xué)，什么專(zhuān)業(yè)都可以。錯(cuò)不在你。你和學(xué)好數(shù)學(xué)之間，其實(shí)只差一個(gè)好的老師。這個(gè)好的老師，他能夠把抽象的數(shù)學(xué)具體化，告訴你每一個(gè)縹緲的公式的現(xiàn)實(shí)作用，讓你恍然大悟，原來(lái)如此。這個(gè)好的老師，就是吳軍老師。作為數(shù)學(xué)系科班畢業(yè)的商業(yè)顧問(wèn)，我強(qiáng)烈推薦你閱讀吳軍老師的《吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義》。 ——施展外交學(xué)院教授，《樞紐》作者 數(shù)學(xué)被稱(chēng)作“宇宙的語(yǔ)言”，我們對(duì)世界的很多理解，底層往往都有一重簡(jiǎn)練而又深刻的數(shù)學(xué)邏輯。然而，應(yīng)試教育往往讓我們覺(jué)得，數(shù)學(xué)就是一堆枯燥的數(shù)字和公式。吳軍老師深入淺出地把數(shù)學(xué)之美呈現(xiàn)出來(lái)，讓我忍不住感嘆，如果他是我當(dāng)年的數(shù)學(xué)老師該有多好！

吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 內(nèi)容簡(jiǎn)介

如何一眼識(shí)破龐氏騙局、做好理財(cái)、投資？

如何在購(gòu)房貸款時(shí)做出□佳選擇？

如何增加簡(jiǎn)歷通過(guò)初篩的幾率？

如何規(guī)劃公司的發(fā)展曲線(xiàn)？

更重要的是，

如何提升自己的認(rèn)知水平？

如何改變自己的思維方式？

……



如果你也關(guān)注這些問(wèn)題，希望借助數(shù)學(xué)思維來(lái)更好地提升自己、認(rèn)知世界，這本書(shū)希望你一定要看。

這是一本寫(xiě)給所有人的數(shù)學(xué)通識(shí)講義，書(shū)中通過(guò)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起整個(gè)數(shù)學(xué)體系，幫助你逐步建立起屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。而貫穿全書(shū)的數(shù)學(xué)發(fā)展史，其實(shí)就是人類(lèi)認(rèn)知的發(fā)展史，你可以借此逐步訓(xùn)練自己的認(rèn)知：從直觀(guān)到抽象，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從宏觀(guān)到微觀(guān)，從隨意到確定再到隨機(jī)。



對(duì)于理工專(zhuān)業(yè)的讀者，這本書(shū)能夠幫助你更好地梳理以往的數(shù)學(xué)知識(shí)，站在更高的地方更全面地看待數(shù)學(xué)以及人類(lèi)知識(shí)體系；對(duì)于非理工專(zhuān)業(yè)的讀者，則能更好地訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維，讓你直擊本質(zhì)、化繁為簡(jiǎn)，做出正確的決策。

吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 前言

為什么我要寫(xiě)一系列通識(shí)讀本



通識(shí)教育，在當(dāng)下是一個(gè)熱門(mén)話(huà)題。今天，中國(guó)人經(jīng)過(guò)幾代人的努力，已經(jīng)解決了溫飽問(wèn)題，很多人也都步入了中產(chǎn)階層。他們接下來(lái)就希望自己能更上一層樓，或者自己的下一代能夠□□自己。但是他們普遍遇到了困境，就是在職業(yè)發(fā)展上有所謂的天花板，在社會(huì)地位提升上有所謂的階層壁壘。通常人們?cè)?5~40歲就會(huì)遇到這樣的困境，然后在接下來(lái)的大半輩子里能做的，除了享受生活、教育孩子□□自己，就是在工作中維持現(xiàn)狀，即便這個(gè)人很努力。

為什么簡(jiǎn)單的努力破不了局呢？這就和教育、培養(yǎng)有關(guān)了。我們大部分人所接受的教育，只是讓我們掌握了單一的或者過(guò)于專(zhuān)業(yè)化的技能。社會(huì)需要這種技能，我們?cè)谖镔|(zhì)和榮譽(yù)方面獲得的酬勞，就是這種技能的市場(chǎng)價(jià)格。有人可能會(huì)想，我多掌握一種技能，就比別人本事大了，機(jī)會(huì)就多了。這種思維方式，依然是簡(jiǎn)單工匠式的，因?yàn)橐粋(gè)人即便掌握了五種技能，謀生時(shí)使用的通常也只有一種。

比如在硅谷，很多工程師覺(jué)得單靠在公司的工作很難買(mǎi)得起□好學(xué)區(qū)的房子，于是考了房地產(chǎn)經(jīng)紀(jì)人和保險(xiǎn)中介人的執(zhí)照，從擁有一種技能變成了三種，下班和周末加班加點(diǎn)地做本職工作之外的事情。雖然這樣收入看似多了一些，但□后他們是否能比一心在公司工作的人走得更遠(yuǎn)呢？真的難說(shuō)。這樣的技能教育，接受得再多，也不過(guò)是從一種工匠變成幾種工匠。

我在得到App“硅谷來(lái)信”等專(zhuān)欄里講過(guò)，即使是做同一件事情，精英水準(zhǔn)和普通執(zhí)行層面水準(zhǔn)的差距也可能是幾個(gè)數(shù)量級(jí)的。要達(dá)到精英水準(zhǔn)，就需要提高綜合素質(zhì)，而非獲得一個(gè)個(gè)單一的技能。而提高綜合素質(zhì)這件事，雖然可以通過(guò)自己長(zhǎng)期的摸索取得一些進(jìn)步，但畢竟效率太低，進(jìn)步的速度太慢。更有效的提高綜合素質(zhì)的方法，是接受通識(shí)教育。

不僅中國(guó)人，世界上不少?lài)?guó)家的人都有名校情結(jié)。但是，世界上的□□名校，相比于二流大學(xué)，專(zhuān)業(yè)課講得并沒(méi)有太多的亮點(diǎn)，那為什么大家要上名校呢？除了學(xué)生群體素質(zhì)高、教育資源多，還有很重要的一點(diǎn)是學(xué)生能夠在那里接受到更好的通識(shí)教育。

并非只有哈佛、普林斯頓這些以文理科見(jiàn)長(zhǎng)的大學(xué)才有通識(shí)教育，即便是大家心目中以理工科見(jiàn)長(zhǎng)的麻省理工學(xué)院，在大學(xué)本科教育階段也非常強(qiáng)調(diào)通識(shí)教育。麻省理工學(xué)院人文學(xué)科的水平其實(shí)很高，其絕大部分人文學(xué)科都能在美國(guó)排進(jìn)前十名，更不用說(shuō)它還有很好的商學(xué)院了。這讓它的畢業(yè)生成為工業(yè)界領(lǐng)袖的比例非常高——占到了校友人數(shù)的40%左右。至于那些以文理科見(jiàn)長(zhǎng)的名校，更是注重通識(shí)教育。普林斯頓大學(xué)著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家、美國(guó)工程院院士李凱教授，總是要求他指導(dǎo)的本科生多選人文類(lèi)的課程。因?yàn)樵谒磥?lái)，對(duì)從業(yè)者來(lái)講，有一輩子的時(shí)間可以學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)技能，但是如果一開(kāi)始通識(shí)教育的基礎(chǔ)沒(méi)有打好，人在職業(yè)道路上就走不遠(yuǎn)。

上述道理很多人都懂，但是苦于沒(méi)有機(jī)會(huì)補(bǔ)足通識(shí)教育的欠缺。因?yàn)槲覀兊拇髮W(xué)還是嚴(yán)格分專(zhuān)業(yè)的，而高中教育則是非常強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的。這些做法都和通識(shí)教育的理念相違背。因此，即使在中國(guó)上了□好的大學(xué)，也未必就能受到很好的通識(shí)教育。那怎么辦呢？只有在課堂以外想辦法補(bǔ)救了。

當(dāng)然，在補(bǔ)上通識(shí)教育這一環(huán)之前，我們要先了解什么是通識(shí)教育。

通識(shí)教育在中國(guó)還有一個(gè)更好聽(tīng)的詞，叫作博雅教育。其實(shí)它們都是從拉丁文里的Liberal Arts一詞翻譯過(guò)來(lái)的，“通識(shí)教育”這種翻譯強(qiáng)調(diào)其內(nèi)容，“博雅教育”則強(qiáng)調(diào)其目的。

liberal是“自由”的意思，arts則通常翻譯成“藝術(shù)”，讓人聯(lián)想到音樂(lè)、繪畫(huà)、攝影、手工等，但它的含義其實(shí)更廣泛一些，是指那些未必能直接用于謀生技能，包括數(shù)學(xué)、自然哲學(xué)（也就是今天的自然科學(xué)）、哲學(xué)、歷史、藝術(shù)、音樂(lè)和很多其他的人文學(xué)科。那么，為什么把liberal和arts這兩個(gè)詞聯(lián)系在一起呢？這就要從古希臘的自由民說(shuō)起了。

liberal□初是指古希臘自由民的屬性，自由民是希臘半島上各個(gè)城邦的主人，有政治權(quán)利、自由意志，能夠自己決定自己的生活。同時(shí)古希臘也有很多奴隸，但并非所有奴隸都像小說(shuō)《斯巴達(dá)克斯》里描寫(xiě)的那樣完全沒(méi)有人身自由，天天戴著腳鐐干繁重的體力活。用我們今天的話(huà)來(lái)說(shuō)，古希臘很多奴隸其實(shí)屬于白領(lǐng)，甚至是合伙人。他們可能是管家、家庭教師、樂(lè)師、畫(huà)匠，甚至是店長(zhǎng)——他們經(jīng)營(yíng)店鋪，和主人分利。但不管奴隸的物質(zhì)生活水平怎么樣，是否有經(jīng)濟(jì)收入，他們都不是自由民，即便不少奴隸是有相當(dāng)?shù)娜松碜杂傻摹?

古希臘的很多奴隸都不是文盲，他們也接受教育，能識(shí)文斷字，但是他們所學(xué)的都是謀生的技能。因?yàn)椴皇亲杂擅，他們就不具有社?huì)主人的心態(tài)，不會(huì)去操心那些自由民要操心的事情，當(dāng)然也不用學(xué)習(xí)自由民才要學(xué)的知識(shí)，以及行使社會(huì)主人權(quán)力所需要的素養(yǎng)。因此，在古希臘，是否接受過(guò)通識(shí)教育，是區(qū)別自由民和奴隸的依據(jù)。

那么，接受了通識(shí)教育的希臘自由民做什么呢？大家看看蘇格拉底的生活就知道了。他每天吃完早飯，和自己的潑婦老婆打個(gè)招呼，然后就到廣場(chǎng)上去和別人辯論了。當(dāng)然，遇到戰(zhàn)爭(zhēng)他也要去打仗，因?yàn)槟鞘亲杂擅竦牧x務(wù)。

在過(guò)去物質(zhì)不豐富的年代，人雖然是法律上的自由人，但是時(shí)間都用來(lái)獲取謀生的基本物質(zhì)了，想像蘇格拉底那樣生活和思考完全是奢望。因此，通識(shí)教育便無(wú)從談起，甚至也沒(méi)有必要。但是今天，中國(guó)人已經(jīng)從法律上的自由人變成了經(jīng)濟(jì)上的自由人，接下來(lái)應(yīng)該變成精神上的自由人，此時(shí)通識(shí)教育就顯得特別有必要了。

當(dāng)然，有人會(huì)問(wèn)，你剛才提到的自由人應(yīng)有的知識(shí)，能幫我多掙錢(qián)嗎？能讓我在單位提升兩級(jí)嗎？或許不能，或者說(shuō)不能直接實(shí)現(xiàn)你的需求，因?yàn)樗鼈兒蛼赍X(qián)的技能無(wú)關(guān)。但是，如果你把自己當(dāng)作這個(gè)世界的主人，要享受這個(gè)世界，就如同當(dāng)年古希臘的自由民享受自由一樣，就需要有主人的學(xué)識(shí)。人要想成為社會(huì)的精英，首先要在精神上成為精英，這樣才能以精英的方式思考，以主人的態(tài)度做事，才能超出常人。

今天，中國(guó)的大學(xué)依然缺乏通識(shí)教育這個(gè)環(huán)節(jié)。雖然很多大學(xué)老師在為改變這種狀態(tài)而努力，但是大家不可能等到大環(huán)境完全塑造好了才開(kāi)始對(duì)自己進(jìn)行通識(shí)教育。另外，很多教育工作者依然體會(huì)不到通識(shí)教育對(duì)一個(gè)人長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的重要性，片面地認(rèn)為教育的目的是培養(yǎng)有知識(shí)的勞動(dòng)者，而不是培養(yǎng)社會(huì)的主人。比如說(shuō)，很多高中為了高考，把原本該有的通識(shí)教育省略了。相比之下，那些世界□□名校在通識(shí)教育方面做得要好得多。哈佛大學(xué)一直很自豪地講，它為學(xué)生開(kāi)設(shè)了6000多門(mén)課程，其中絕大部分課程和謀生沒(méi)有直接關(guān)系，相當(dāng)多的課程都屬于通識(shí)課。這樣學(xué)生可以以自己為中心，把自己當(dāng)作學(xué)校的主人，不管想學(xué)習(xí)什么知識(shí)都能學(xué)得到。在美國(guó)，開(kāi)這么多門(mén)課的大學(xué)并不少。

中國(guó)通識(shí)教育的另一大問(wèn)題是知識(shí)的結(jié)構(gòu)化缺失。很多人說(shuō)，我在中學(xué)也努力學(xué)習(xí)過(guò)語(yǔ)文、歷史，或者數(shù)學(xué)和科學(xué)，但不知道平時(shí)有什么用。多年前，我寫(xiě)了《數(shù)學(xué)之美》一書(shū)，很多讀者看了之后說(shuō)：“哦，原來(lái)數(shù)學(xué)可以這么用！惫韫纫恍┲袑W(xué)生見(jiàn)到馬斯克時(shí)問(wèn)他，在大學(xué)里學(xué)什么才能成為企業(yè)家。馬斯克總是不假思索地說(shuō)，像我一樣學(xué)物理，因?yàn)槟銜?huì)因此有一種□適合這個(gè)世界的思維方式？梢(jiàn)，在馬斯克心里，物理學(xué)的那些知識(shí)并不重要，重要的是物理學(xué)的思維方式，然后做到一通百通。這也道出了通識(shí)教育的本質(zhì)，即能夠?qū)⑦@些知識(shí)用于許多地方，而不僅僅是直接用來(lái)做具體的事情。為此，通過(guò)通識(shí)教育，理解知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和關(guān)聯(lián)性很重要。

如果你已經(jīng)認(rèn)可了通識(shí)教育的重要性，恭喜你，也歡迎你閱讀得到圖書(shū)出品的這一系列通識(shí)讀本。得到的創(chuàng)始人、管理層和為大家提供知識(shí)服務(wù)的員工，都有幫助中國(guó)所有上進(jìn)的人補(bǔ)上通識(shí)教育的缺失這樣一種遠(yuǎn)大的理想。因此，我在和他們談出版一系列通識(shí)教育讀本的時(shí)候，他們都非常支持。事實(shí)上，得到App已經(jīng)開(kāi)設(shè)了上百門(mén)高水平的通識(shí)課。當(dāng)然，出版通識(shí)教育讀本是一個(gè)大工程，哈佛大學(xué)的那6000門(mén)課也不是一天開(kāi)出來(lái)的，更沒(méi)有人能夠全部學(xué)完。因此，在□□階段，這個(gè)系列的通識(shí)讀本只集中在□基礎(chǔ)、每個(gè)人都需要了解的知識(shí)體系上。在此基礎(chǔ)上， 我們會(huì)繼續(xù)推出各個(gè)專(zhuān)業(yè)的通識(shí)讀本！鹾，還會(huì)有與個(gè)人興趣、工作性質(zhì)相關(guān)的專(zhuān)題類(lèi)的通識(shí)讀本。

在大的通識(shí)教育體系中，我就相當(dāng)于早上了兩年課的大師兄。我根據(jù)自己在職業(yè)生涯中的體會(huì)，總結(jié)出了師弟師妹們必須學(xué)的知識(shí)。通過(guò)學(xué)習(xí)這些知識(shí)，你的思維方法和做事水平會(huì)得到明顯的提升。

這套基礎(chǔ)通識(shí)讀本會(huì)包括九類(lèi)核心學(xué)科，分別是：

數(shù)學(xué)；

邏輯學(xué)；

語(yǔ)文、文學(xué)和寫(xiě)作；

文明史；

自然科學(xué)；

經(jīng)濟(jì)、金融、管理和投資；

信息科學(xué)；

人文地理；

音樂(lè)和藝術(shù)；

政治學(xué)、哲學(xué)和軍事。

上述每一個(gè)通識(shí)讀本的單本，都會(huì)包括精選出的每個(gè)人都應(yīng)該了解的知識(shí)點(diǎn)，它們的來(lái)龍去脈和用途，它們?cè)趯W(xué)科體系中的地位，它們對(duì)人類(lèi)的思維和認(rèn)知起到過(guò)什么作用，以及我們對(duì)我們認(rèn)知升級(jí)有什么幫助。

吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 目錄

總 序 001 前 言 009 基礎(chǔ)篇 第 1 章 理解數(shù)學(xué)的線(xiàn)索：從畢達(dá)哥拉斯講起 1.1 勾股定理：為什么在西方叫畢達(dá)哥拉斯定理 022 1.2 數(shù)學(xué)的預(yù)見(jiàn)性：無(wú)理數(shù)是畢達(dá)哥拉斯定理的推論 030 1.3 數(shù)學(xué)思維：如何從邏輯出發(fā)想問(wèn)題 036 1.4 黃金分割：數(shù)學(xué)和美學(xué)的橋梁 045 1.5 優(yōu)選法：華羅庚化繁為簡(jiǎn)的神來(lái)之筆 058 第 2 章 數(shù)列與級(jí)數(shù)：承上啟下的關(guān)鍵內(nèi)容 2.1 數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性：斐波那契數(shù)列和黃金分割 070 2.2 數(shù)列變化：趨勢(shì)比當(dāng)下重要 075 2.3 級(jí)數(shù)：傳銷(xiāo)騙局里的數(shù)學(xué)原理 079 2.4 等比級(jí)數(shù)：少付一半利息，多獲得一倍回報(bào) 092 第 3 章 數(shù)學(xué)邊界：數(shù)學(xué)是萬(wàn)能的嗎 3.1 數(shù)學(xué)的局限性：從勾定理到費(fèi)馬大定理 104 3.2 探尋數(shù)學(xué)的邊界：從希爾伯特第十問(wèn)題講起 108 數(shù)字篇 第 4 章 方程：新方法和新思維 4.1 雞兔同籠問(wèn)題：方程這個(gè)工具有什么用 116 4.2 一元三次方程的解法：數(shù)學(xué)史上著名的發(fā)明權(quán)之爭(zhēng) 126 4.3 虛數(shù)：虛構(gòu)的工具有什么用 135 第 5 章 無(wú)窮大和無(wú)窮小：從數(shù)值到趨勢(shì) 5.1 無(wú)窮大：為什么我們難以理解無(wú)限大的世界 143 5.2 無(wú)窮。褐ブZ悖論和它的破解 149 5.3 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)：牛頓和貝克萊的爭(zhēng)論 156 5.4 極限：重新審視無(wú)窮小的世界 163 5.5 動(dòng)態(tài)趨勢(shì)：無(wú)窮大和無(wú)窮小能比較大小嗎 171 幾何篇 第 6 章 基礎(chǔ)幾何學(xué)：公理化體系的建立 6.1 幾何學(xué)的起源：為什么幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中*古老的分支 186 6.2 公理化體系：幾何學(xué)的系統(tǒng)理論從何而來(lái) 194 第 7 章 幾何學(xué)的發(fā)展：開(kāi)創(chuàng)不同數(shù)學(xué)分支融合的先河 7.1 非歐幾何：換一條公理，幾何學(xué)會(huì)崩塌嗎 205 7.2 圓周率：數(shù)學(xué)工具的意義 214 7.3 解析幾何：如何用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題 221 7.4 體系的意義：為什么幾何能為法律提供理論基礎(chǔ) 232 代數(shù)篇 第 8 章 函數(shù)：重要的數(shù)學(xué)工具 8.1 定義和本質(zhì)：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從數(shù)量到趨勢(shì) 244 8.2 因果關(guān)系：決定性和相關(guān)性的差別 253 第 9 章 線(xiàn)性代數(shù)：超乎想象的實(shí)用工具 9.1 向量：數(shù)量的方向與合力的形成 262 9.2 余弦定理：文本分類(lèi)與簡(jiǎn)歷篩選 278 9.3 矩陣：多元思維的應(yīng)用 284 微積分篇 第 10 章 微分：如何理解宏觀(guān)和微觀(guān)的關(guān)系 10.1 導(dǎo)數(shù)：揭示事物變化的新規(guī)律 300 10.2 微分：描述微觀(guān)世界的工具 307 10.3 奇點(diǎn)：變化連續(xù)和光滑是穩(wěn)定性的基礎(chǔ) 312 第 11 章 積分：從微觀(guān)變化了解宏觀(guān)趨勢(shì) 11.1 積分：微分的逆運(yùn)算 323 11.2 積分的意義：從細(xì)節(jié)了解全局 327 11.3 *優(yōu)化問(wèn)題：用變化的眼光看*大值和*小值 333 11.4 發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)：牛頓和萊布尼茨各自的貢獻(xiàn) 342 *11.5 體系的完善：微積分公理化的過(guò)程 348 概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)篇 第 12 章 隨機(jī)性和概率論：如何看待不確定性 12.1 概率論：一門(mén)來(lái)自賭徒的學(xué)問(wèn) 364 12.2 古典概率：拉普拉斯對(duì)概率的系統(tǒng)性論述 366 12.3 伯努利試驗(yàn)：隨機(jī)性到底意味著什么 371 12.4 均值與方差：理想與現(xiàn)實(shí)的差距 378 第 13 章 小概率和大概率：如何資源共享和消除不確定性 13.1. 泊松分布：為什么保險(xiǎn)公司必須有很大的客戶(hù)群 386 13.2 高斯分布：大概率事件意味著什么 393 *13.3 概率公理化：理論和現(xiàn)實(shí)的統(tǒng)一 404 第 14 章 前提條件：度量隨機(jī)性的新方法 14.1 前提條件：條件對(duì)隨機(jī)性的影響 415 14.2 差異：概率、聯(lián)合概率和條件概率 421 14.3 相關(guān)性：條件概率在信息處理中的應(yīng)用 430 14.4 貝葉斯公式：機(jī)器翻譯是怎樣工作的 433 第 15 章 統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)方法：準(zhǔn)確估算概率的前提 15.1 定義：什么是統(tǒng)計(jì)學(xué) 442 15.2 實(shí)踐：怎樣做好統(tǒng)計(jì) 446 15.3 古德 - 圖靈折扣估計(jì)：如何防范黑天鵝事件 450 15.4 換個(gè)眼光看世界：概率是一種世界觀(guān)，統(tǒng)計(jì)是一種方法論 459 終篇 第 16 章 數(shù)學(xué)在人類(lèi)知識(shí)體系中的位置 16.1 數(shù)學(xué)和哲學(xué)：一頭一尾的兩門(mén)學(xué)科 468 16.2 數(shù)學(xué)和自然科學(xué)：數(shù)學(xué)如何改造自然科學(xué) 474 16.3 數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)：為什么邏輯是一切的基礎(chǔ) 480 16.4 數(shù)學(xué)和其他學(xué)科：為什么數(shù)學(xué)是更底層的工具 486 16.5 未來(lái)展望：希爾伯特的講演 493 附錄 附錄 1 黃金分割等于多少 497 附錄 2 為什么斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比值收斂于黃金分割 498 附錄 3 等比級(jí)數(shù)求和算法 500 附錄 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501 附錄 5 積分的其他兩種計(jì)算方法 503 附錄 6 大數(shù)定律 505 附錄 7 希爾伯特退休講演的英文譯文 507 終篇 第 16 章 數(shù)學(xué)在人類(lèi)知識(shí)體系中的位置 21.1 數(shù)學(xué)和哲學(xué) /458 21.2 數(shù)學(xué)和自然科學(xué) /465 21.3 數(shù)學(xué)和邏輯學(xué) /469 21.4 數(shù)學(xué)和其他學(xué)科 /473 21.5 著名數(shù)學(xué)家希爾伯特退休前的講演 /478
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吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 節(jié)選

非數(shù)學(xué)思維 VS. 數(shù)學(xué)思維



在講什么是數(shù)學(xué)思維之前，先要說(shuō)說(shuō)什么不是數(shù)學(xué)思維。

首先，聽(tīng)眾人的意見(jiàn)不是數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)不是民主決策，贊同的聲音越大越正確。事實(shí)上很多人湊在一起，智商常常不是增加而是下降，這就是所謂的群體效應(yīng)。

其次，聽(tīng)專(zhuān)家的意見(jiàn)不是數(shù)學(xué)思維。很多人在做判斷時(shí)會(huì)相信專(zhuān)家，絕大多數(shù)時(shí)候，這是一個(gè)好的習(xí)慣，但是專(zhuān)家也會(huì)有漏判和誤判的時(shí)候。這里我想以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明！008—□009年的金融危機(jī)是歷史上危害僅次于 19□9—1933 年全球大蕭條的經(jīng)濟(jì)危機(jī)，它讓很多家庭傾家蕩產(chǎn)，包括很多極為富有、受教育程度很高的人。在金融危機(jī)之后，英國(guó)女王問(wèn)全世界的經(jīng)濟(jì)學(xué)家們，這么大的危機(jī)，這么明顯的問(wèn)題，你們這么多人怎么沒(méi)有一個(gè)人預(yù)測(cè)到呢？這讓經(jīng)濟(jì)學(xué)家們很沒(méi)面子。

其實(shí)女王多少有點(diǎn)錯(cuò)怪經(jīng)濟(jì)學(xué)家這個(gè)群體了。整體來(lái)看，他們當(dāng)時(shí)確實(shí)是過(guò)于樂(lè)觀(guān)了，但是也有一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家之前確實(shí)做過(guò)很多預(yù)警。而那些被預(yù)警的問(wèn)題，一旦引起注意后，大多會(huì)被防范，之后就不再是問(wèn)題。因此換一個(gè)角度講，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們已經(jīng)幫助我們避免了很多次的經(jīng)濟(jì)危機(jī)了。當(dāng)然，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們也不是神，總會(huì)有誤判的時(shí)候，當(dāng)大部分人都出現(xiàn)誤判時(shí)，真正的危機(jī)就來(lái)了。但是，在那次金融危機(jī)中，還是有一些人利用數(shù)學(xué)思維避開(kāi)了風(fēng)險(xiǎn)，而且

賺得盆滿(mǎn)缽滿(mǎn)，這一點(diǎn)我們?cè)诤竺鏁?huì)講到。

□后，數(shù)學(xué)思維不是通過(guò)以往的經(jīng)驗(yàn)或者多次試驗(yàn)得到結(jié)論。這種方法更像是自然科學(xué)的思維方式，而不是數(shù)學(xué)的。事實(shí)上，很多時(shí)候，通過(guò)大量試驗(yàn)所得到的結(jié)果依然可能是錯(cuò)誤的。比如我們要比較 10 000x 和 x□哪一個(gè)大，如果從 x=1 開(kāi)始試驗(yàn)，一直試到 100，都是 10 000x 大。但是如果我們因此而得到結(jié)論 10 000x> x□， 那就錯(cuò)了。那么可能有人會(huì)問(wèn)，為什么不直接試試 x=□0 000 呢？因?yàn)槿藗兡軌蛳胂蟮降睦映３Ｊ芟抻谧陨淼恼J(rèn)知。如果一個(gè)人平時(shí)接觸的數(shù)量通常都是個(gè)位數(shù)的，他就很難想到10 000、□0 000 這些大很多的數(shù)。

還是在 □008—□009 年的金融危機(jī)中，有一次摩根士丹利私人財(cái)富管理部門(mén)召集客戶(hù)們（都是非常有錢(qián)的人）開(kāi)會(huì)分析當(dāng)時(shí)的金融狀況。主講人說(shuō)，根據(jù)歷次經(jīng)濟(jì)危機(jī)股市的表現(xiàn)，只要實(shí)體經(jīng)濟(jì)

沒(méi)有受到重創(chuàng)，股市通常會(huì)下跌 1/4～1/3。一位參會(huì)者馬上就說(shuō)：“先生，你太樂(lè)觀(guān)了，我們現(xiàn)在正在創(chuàng)造歷史”。這位發(fā)言者的話(huà)很快被證實(shí)了，因?yàn)楣墒泻芸炀偷艘话。這說(shuō)明人的經(jīng)驗(yàn)通常是有

局限性的。

那么什么是數(shù)學(xué)思維？它是從不可能變的事實(shí)出發(fā)，利用邏輯找出矛盾，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后再設(shè)法解決問(wèn)題。什么是不變的事實(shí)呢？比如說(shuō)宇宙中基本粒子的數(shù)量是有限的，任何經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)都不可能是長(zhǎng)期翻番的，這些就是不變的事實(shí)。具體到金融中，一個(gè)不變的事實(shí)就是，任何建立在空中樓閣之上的復(fù)利增長(zhǎng)都難以持續(xù)，比如龐氏騙局。

吳軍數(shù)學(xué)通識(shí)講義 作者簡(jiǎn)介

吳 軍

博士，知名自然語(yǔ)言處理和搜索專(zhuān)家，硅谷風(fēng)險(xiǎn)投資人。他的著作《數(shù)學(xué)之美》榮獲國(guó)家圖書(shū)館第八屆文津圖書(shū)獎(jiǎng)、第五屆中華優(yōu)秀出版物獎(jiǎng)，《文明之光》被評(píng)為□014年“中國(guó)好書(shū)”，《浪潮之巔》榮獲“藍(lán)獅子□011年十大ji佳商業(yè)圖書(shū)”獎(jiǎng)。

吳軍博士曾經(jīng)擔(dān)任谷歌研究員，設(shè)計(jì)了谷歌中、日、韓文搜索算法以及谷歌的自然語(yǔ)言分析器！010—□01□年擔(dān)任騰訊負(fù)責(zé)搜索和搜索廣告等業(yè)務(wù)的副總裁，后回到谷歌負(fù)責(zé)計(jì)算機(jī)自動(dòng)問(wèn)答項(xiàng)目。

吳軍博士自□008年開(kāi)始從事風(fēng)險(xiǎn)投資，并于□014年作為創(chuàng)始合伙人創(chuàng)立了硅谷豐元資本風(fēng)險(xiǎn)投資基金。他也是上海交通大學(xué)客座研究員和約翰•霍普金斯大學(xué)工學(xué)院董事。

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